Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118931 / 116851
↖ ↑ ↗
← S 80.232445°
E146.653748°		 ← 51.81 m → S 80.232445°
E146.656494°		 →
↑
51.80 m
↓
↑
51.80 m
↓
S 80.232911°
E146.653748°		 ← 51.80 m →
2 683 m²		 S 80.232911°
E146.656494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907375335693359 y=0.891506195068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907375335693359 × 217)
    floor (0.907375335693359 × 131072)
    floor (118931.5)     		tx = 118931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891506195068359 × 217)
    floor (0.891506195068359 × 131072)
    floor (116851.5)     		ty = 116851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118931 / 116851 ti = "17/118931/116851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118931/116851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118931 ÷ 217
    118931 ÷ 131072     		x = 0.907371520996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116851 ÷ 217
    116851 ÷ 131072     		y = 0.891502380371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907371520996094 × 2 - 1) × π
    0.814743041992188 × 3.1415926535     		Λ = 2.55959076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.891502380371094 × 2 - 1) × π
    -0.783004760742188 × 3.1415926535     		Φ = -2.45988200400318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55959076} λ = 2.55959076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.45988200400318))-π/2
    2×atan(0.0854450325443049)-π/2
    2×0.085237998149648-π/2
    0.170475996299296-1.57079632675     		φ = -1.40032033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55959076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.653748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40032033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.232445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118931 KachelY 116851 2.55959076 -1.40032033 146.653748 -80.232445
    Oben rechts KachelX + 1 118932 KachelY 116851 2.55963869 -1.40032033 146.656494 -80.232445
    Unten links KachelX 118931 KachelY + 1 116852 2.55959076 -1.40032846 146.653748 -80.232911
    Unten rechts KachelX + 1 118932 KachelY + 1 116852 2.55963869 -1.40032846 146.656494 -80.232911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40032033--1.40032846) × R
    8.13000000010611e-06 × 6371000     		dl = 51.796230000676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40032033--1.40032846) × R
    8.13000000010611e-06 × 6371000     		dr = 51.796230000676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55959076-2.55963869) × cos(-1.40032033) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169651465073357 × 6371000     		do = 51.8051157673061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55959076-2.55963869) × cos(-1.40032846) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169643452919214 × 6371000     		du = 51.8026691596523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40032033)-sin(-1.40032846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169651465073357-0.169643452919214)×R²
    abs(2.55963869-2.55959076)×8.0121541430056e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.0121541430056e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.0121541430056e-06×40589641000000     		ar = 2683.24632881882m²