Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118930 / 119426
↖ ↑ ↗
← S 81.362113°
E146.651001°		 ← 45.87 m → S 81.362113°
E146.653748°		 →
↑
45.87 m
↓
↑
45.87 m
↓
S 81.362525°
E146.651001°		 ← 45.87 m →
2 104 m²		 S 81.362525°
E146.653748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907367706298828 y=0.911151885986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907367706298828 × 217)
    floor (0.907367706298828 × 131072)
    floor (118930.5)     		tx = 118930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911151885986328 × 217)
    floor (0.911151885986328 × 131072)
    floor (119426.5)     		ty = 119426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118930 / 119426 ti = "17/118930/119426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118930/119426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118930 ÷ 217
    118930 ÷ 131072     		x = 0.907363891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119426 ÷ 217
    119426 ÷ 131072     		y = 0.911148071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907363891601562 × 2 - 1) × π
    0.814727783203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55954282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911148071289062 × 2 - 1) × π
    -0.822296142578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58331952052483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55954282} λ = 2.55954282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58331952052483))-π/2
    2×atan(0.0755228876847547)-π/2
    2×0.0753797902810768-π/2
    0.150759580562154-1.57079632675     		φ = -1.42003675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55954282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.651001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42003675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.362113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118930 KachelY 119426 2.55954282 -1.42003675 146.651001 -81.362113
    Oben rechts KachelX + 1 118931 KachelY 119426 2.55959076 -1.42003675 146.653748 -81.362113
    Unten links KachelX 118930 KachelY + 1 119427 2.55954282 -1.42004395 146.651001 -81.362525
    Unten rechts KachelX + 1 118931 KachelY + 1 119427 2.55959076 -1.42004395 146.653748 -81.362525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42003675--1.42004395) × R
    7.199999999985e-06 × 6371000     		dl = 45.8711999999044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42003675--1.42004395) × R
    7.199999999985e-06 × 6371000     		dr = 45.8711999999044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55954282-2.55959076) × cos(-1.42003675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150189136857965 × 6371000     		do = 45.8716282647751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55954282-2.55959076) × cos(-1.42004395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150182018521635 × 6371000     		du = 45.8694541416339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42003675)-sin(-1.42004395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150189136857965-0.150182018521635)×R²
    abs(2.55959076-2.55954282)×7.11833633021408e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.11833633021408e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.11833633021408e-06×40589641000000     		ar = 2104.13676968992m²