Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118927 / 118991
↖ ↑ ↗
← S 81.180810°
E146.642761°		 ← 46.82 m → S 81.180810°
E146.645508°		 →
↑
46.83 m
↓
↑
46.83 m
↓
S 81.181231°
E146.642761°		 ← 46.81 m →
2 192 m²		 S 81.181231°
E146.645508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907344818115234 y=0.907833099365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907344818115234 × 217)
    floor (0.907344818115234 × 131072)
    floor (118927.5)     		tx = 118927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907833099365234 × 217)
    floor (0.907833099365234 × 131072)
    floor (118991.5)     		ty = 118991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118927 / 118991 ti = "17/118927/118991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118927/118991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118927 ÷ 217
    118927 ÷ 131072     		x = 0.907341003417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118991 ÷ 217
    118991 ÷ 131072     		y = 0.907829284667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907341003417969 × 2 - 1) × π
    0.814682006835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.55939901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907829284667969 × 2 - 1) × π
    -0.815658569335938 × 3.1415926535     		Φ = -2.5624669691901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55939901} λ = 2.55939901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5624669691901))-π/2
    2×atan(0.0771142670729461)-π/2
    2×0.0769619539906208-π/2
    0.153923907981242-1.57079632675     		φ = -1.41687242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55939901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.642761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41687242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.180810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118927 KachelY 118991 2.55939901 -1.41687242 146.642761 -81.180810
    Oben rechts KachelX + 1 118928 KachelY 118991 2.55944694 -1.41687242 146.645508 -81.180810
    Unten links KachelX 118927 KachelY + 1 118992 2.55939901 -1.41687977 146.642761 -81.181231
    Unten rechts KachelX + 1 118928 KachelY + 1 118992 2.55944694 -1.41687977 146.645508 -81.181231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41687242--1.41687977) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dl = 46.8268499997551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41687242--1.41687977) × R
    7.34999999996155e-06 × 6371000     		dr = 46.8268499997551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55939901-2.55944694) × cos(-1.41687242) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153316817617244 × 6371000     		do = 46.81713466077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55939901-2.55944694) × cos(-1.41687977) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15330955451152 × 6371000     		du = 46.8149167840621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41687242)-sin(-1.41687977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153316817617244-0.15330955451152)×R²
    abs(2.55944694-2.55939901)×7.26310572379818e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.26310572379818e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.26310572379818e-06×40589641000000     		ar = 2192.24701427924m²