Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118924 / 119402
↖ ↑ ↗
← S 81.352207°
E146.634522°		 ← 45.91 m → S 81.352207°
E146.637268°		 →
↑
45.93 m
↓
↑
45.93 m
↓
S 81.352620°
E146.634522°		 ← 45.91 m →
2 109 m²		 S 81.352620°
E146.637268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907321929931641 y=0.910968780517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907321929931641 × 217)
    floor (0.907321929931641 × 131072)
    floor (118924.5)     		tx = 118924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910968780517578 × 217)
    floor (0.910968780517578 × 131072)
    floor (119402.5)     		ty = 119402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118924 / 119402 ti = "17/118924/119402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118924/119402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118924 ÷ 217
    118924 ÷ 131072     		x = 0.907318115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119402 ÷ 217
    119402 ÷ 131072     		y = 0.910964965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907318115234375 × 2 - 1) × π
    0.81463623046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55925520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910964965820312 × 2 - 1) × π
    -0.821929931640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58216903493394
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55925520} λ = 2.55925520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58216903493394))-π/2
    2×atan(0.0756098256796836)-π/2
    2×0.0754662346548698-π/2
    0.15093246930974-1.57079632675     		φ = -1.41986386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55925520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.634522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41986386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.352207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118924 KachelY 119402 2.55925520 -1.41986386 146.634522 -81.352207
    Oben rechts KachelX + 1 118925 KachelY 119402 2.55930313 -1.41986386 146.637268 -81.352207
    Unten links KachelX 118924 KachelY + 1 119403 2.55925520 -1.41987107 146.634522 -81.352620
    Unten rechts KachelX + 1 118925 KachelY + 1 119403 2.55930313 -1.41987107 146.637268 -81.352620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41986386--1.41987107) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dl = 45.9349099995172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41986386--1.41987107) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dr = 45.9349099995172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55925520-2.55930313) × cos(-1.41986386) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150360063570118 × 6371000     		do = 45.9142542427283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55925520-2.55930313) × cos(-1.41987107) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150352935534522 × 6371000     		du = 45.912077611309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41986386)-sin(-1.41987107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150360063570118-0.150352935534522)×R²
    abs(2.55930313-2.55925520)×7.12803559541064e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.12803559541064e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.12803559541064e-06×40589641000000     		ar = 2109.01714475008m²