Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118914 / 119106
↖ ↑ ↗
← S 81.229104°
E146.607056°		 ← 46.56 m → S 81.229104°
E146.609802°		 →
↑
46.57 m
↓
↑
46.57 m
↓
S 81.229523°
E146.607056°		 ← 46.56 m →
2 168 m²		 S 81.229523°
E146.609802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907245635986328 y=0.908710479736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907245635986328 × 217)
    floor (0.907245635986328 × 131072)
    floor (118914.5)     		tx = 118914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908710479736328 × 217)
    floor (0.908710479736328 × 131072)
    floor (119106.5)     		ty = 119106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118914 / 119106 ti = "17/118914/119106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118914/119106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118914 ÷ 217
    118914 ÷ 131072     		x = 0.907241821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119106 ÷ 217
    119106 ÷ 131072     		y = 0.908706665039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907241821289062 × 2 - 1) × π
    0.814483642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55877583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908706665039062 × 2 - 1) × π
    -0.817413330078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56797971264641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55877583} λ = 2.55877583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56797971264641))-π/2
    2×atan(0.0766903255159175)-π/2
    2×0.0765405048743101-π/2
    0.15308100974862-1.57079632675     		φ = -1.41771532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55877583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.607056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41771532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.229104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118914 KachelY 119106 2.55877583 -1.41771532 146.607056 -81.229104
    Oben rechts KachelX + 1 118915 KachelY 119106 2.55882376 -1.41771532 146.609802 -81.229104
    Unten links KachelX 118914 KachelY + 1 119107 2.55877583 -1.41772263 146.607056 -81.229523
    Unten rechts KachelX + 1 118915 KachelY + 1 119107 2.55882376 -1.41772263 146.609802 -81.229523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41771532--1.41772263) × R
    7.31000000020465e-06 × 6371000     		dl = 46.5720100013038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41771532--1.41772263) × R
    7.31000000020465e-06 × 6371000     		dr = 46.5720100013038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55877583-2.55882376) × cos(-1.41771532) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152483828785731 × 6371000     		do = 46.5627715002117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55877583-2.55882376) × cos(-1.41772263) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152476604265047 × 6371000     		du = 46.5605654059099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41771532)-sin(-1.41772263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152483828785731-0.152476604265047)×R²
    abs(2.55882376-2.55877583)×7.22452068391277e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.22452068391277e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.22452068391277e-06×40589641000000     		ar = 2168.47048875363m²