Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118913 / 117631
↖ ↑ ↗
← S 80.589278°
E146.604309°		 ← 49.94 m → S 80.589278°
E146.607056°		 →
↑
49.95 m
↓
↑
49.95 m
↓
S 80.589727°
E146.604309°		 ← 49.94 m →
2 494 m²		 S 80.589727°
E146.607056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907238006591797 y=0.897457122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907238006591797 × 217)
    floor (0.907238006591797 × 131072)
    floor (118913.5)     		tx = 118913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.897457122802734 × 217)
    floor (0.897457122802734 × 131072)
    floor (117631.5)     		ty = 117631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118913 / 117631 ti = "17/118913/117631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118913/117631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118913 ÷ 217
    118913 ÷ 131072     		x = 0.907234191894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117631 ÷ 217
    117631 ÷ 131072     		y = 0.897453308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907234191894531 × 2 - 1) × π
    0.814468383789062 × 3.1415926535     		Λ = 2.55872789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.897453308105469 × 2 - 1) × π
    -0.794906616210938 × 3.1415926535     		Φ = -2.49727278570683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55872789} λ = 2.55872789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49727278570683))-π/2
    2×atan(0.082309167544802)-π/2
    2×0.0821240434476186-π/2
    0.164248086895237-1.57079632675     		φ = -1.40654824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55872789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.604309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40654824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.589278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118913 KachelY 117631 2.55872789 -1.40654824 146.604309 -80.589278
    Oben rechts KachelX + 1 118914 KachelY 117631 2.55877583 -1.40654824 146.607056 -80.589278
    Unten links KachelX 118913 KachelY + 1 117632 2.55872789 -1.40655608 146.604309 -80.589727
    Unten rechts KachelX + 1 118914 KachelY + 1 117632 2.55877583 -1.40655608 146.607056 -80.589727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40654824--1.40655608) × R
    7.84000000009222e-06 × 6371000     		dl = 49.9486400005875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40654824--1.40655608) × R
    7.84000000009222e-06 × 6371000     		dr = 49.9486400005875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55872789-2.55877583) × cos(-1.40654824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163510583641277 × 6371000     		do = 49.940341006436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55872789-2.55877583) × cos(-1.40655608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163502849150264 × 6371000     		du = 49.9379786937951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40654824)-sin(-1.40655608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163510583641277-0.163502849150264)×R²
    abs(2.55877583-2.55872789)×7.73449101221235e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.73449101221235e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.73449101221235e-06×40589641000000     		ar = 2494.39311732703m²