Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118912 / 117628
↖ ↑ ↗
← S 80.587930°
E146.601562°		 ← 49.95 m → S 80.587930°
E146.604309°		 →
↑
49.95 m
↓
↑
49.95 m
↓
S 80.588379°
E146.601562°		 ← 49.95 m →
2 495 m²		 S 80.588379°
E146.604309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907230377197266 y=0.897434234619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907230377197266 × 217)
    floor (0.907230377197266 × 131072)
    floor (118912.5)     		tx = 118912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.897434234619141 × 217)
    floor (0.897434234619141 × 131072)
    floor (117628.5)     		ty = 117628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118912 / 117628 ti = "17/118912/117628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118912/117628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118912 ÷ 217
    118912 ÷ 131072     		x = 0.9072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117628 ÷ 217
    117628 ÷ 131072     		y = 0.897430419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9072265625 × 2 - 1) × π
    0.814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55867995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.897430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.79486083984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.49712897500797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55867995} λ = 2.55867995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49712897500797))-π/2
    2×atan(0.0823210053348893)-π/2
    2×0.0821358015673502-π/2
    0.1642716031347-1.57079632675     		φ = -1.40652472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55867995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40652472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.587930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118912 KachelY 117628 2.55867995 -1.40652472 146.601562 -80.587930
    Oben rechts KachelX + 1 118913 KachelY 117628 2.55872789 -1.40652472 146.604309 -80.587930
    Unten links KachelX 118912 KachelY + 1 117629 2.55867995 -1.40653256 146.601562 -80.588379
    Unten rechts KachelX + 1 118913 KachelY + 1 117629 2.55872789 -1.40653256 146.604309 -80.588379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40652472--1.40653256) × R
    7.84000000009222e-06 × 6371000     		dl = 49.9486400005875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40652472--1.40653256) × R
    7.84000000009222e-06 × 6371000     		dr = 49.9486400005875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55867995-2.55872789) × cos(-1.40652472) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163533787054009 × 6371000     		do = 49.9474279259405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55867995-2.55872789) × cos(-1.40653256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163526052593149 × 6371000     		du = 49.9450656225088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40652472)-sin(-1.40653256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163533787054009-0.163526052593149)×R²
    abs(2.55872789-2.55867995)×7.73446085997054e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.73446085997054e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.73446085997054e-06×40589641000000     		ar = 2494.74709943622m²