Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118911 / 117629
↖ ↑ ↗
← S 80.588379°
E146.598816°		 ← 49.93 m → S 80.588379°
E146.601562°		 →
↑
49.95 m
↓
↑
49.95 m
↓
S 80.588829°
E146.598816°		 ← 49.93 m →
2 494 m²		 S 80.588829°
E146.601562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907222747802734 y=0.897441864013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907222747802734 × 217)
    floor (0.907222747802734 × 131072)
    floor (118911.5)     		tx = 118911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.897441864013672 × 217)
    floor (0.897441864013672 × 131072)
    floor (117629.5)     		ty = 117629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118911 / 117629 ti = "17/118911/117629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118911/117629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118911 ÷ 217
    118911 ÷ 131072     		x = 0.907218933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117629 ÷ 217
    117629 ÷ 131072     		y = 0.897438049316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907218933105469 × 2 - 1) × π
    0.814437866210938 × 3.1415926535     		Λ = 2.55863202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.897438049316406 × 2 - 1) × π
    -0.794876098632812 × 3.1415926535     		Φ = -2.49717691190759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55863202} λ = 2.55863202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49717691190759))-π/2
    2×atan(0.082317059215703)-π/2
    2×0.0821318820087513-π/2
    0.164263764017503-1.57079632675     		φ = -1.40653256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55863202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.598816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40653256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.588379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118911 KachelY 117629 2.55863202 -1.40653256 146.598816 -80.588379
    Oben rechts KachelX + 1 118912 KachelY 117629 2.55867995 -1.40653256 146.601562 -80.588379
    Unten links KachelX 118911 KachelY + 1 117630 2.55863202 -1.40654040 146.598816 -80.588829
    Unten rechts KachelX + 1 118912 KachelY + 1 117630 2.55867995 -1.40654040 146.601562 -80.588829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40653256--1.40654040) × R
    7.83999999987017e-06 × 6371000     		dl = 49.9486399991729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40653256--1.40654040) × R
    7.83999999987017e-06 × 6371000     		dr = 49.9486399991729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55863202-2.55867995) × cos(-1.40653256) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163526052593149 × 6371000     		do = 49.9346473777615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55863202-2.55867995) × cos(-1.40654040) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163518318122238 × 6371000     		du = 49.9322855640231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40653256)-sin(-1.40654040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163526052593149-0.163518318122238)×R²
    abs(2.55867995-2.55863202)×7.73447091098611e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.73447091098611e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.73447091098611e-06×40589641000000     		ar = 2494.10874076595m²