Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118910 / 119102
↖ ↑ ↗
← S 81.227429°
E146.596069°		 ← 46.58 m → S 81.227429°
E146.598816°		 →
↑
46.57 m
↓
↑
46.57 m
↓
S 81.227848°
E146.596069°		 ← 46.58 m →
2 169 m²		 S 81.227848°
E146.598816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907215118408203 y=0.908679962158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907215118408203 × 217)
    floor (0.907215118408203 × 131072)
    floor (118910.5)     		tx = 118910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908679962158203 × 217)
    floor (0.908679962158203 × 131072)
    floor (119102.5)     		ty = 119102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118910 / 119102 ti = "17/118910/119102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118910/119102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118910 ÷ 217
    118910 ÷ 131072     		x = 0.907211303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119102 ÷ 217
    119102 ÷ 131072     		y = 0.908676147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907211303710938 × 2 - 1) × π
    0.814422607421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55858408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908676147460938 × 2 - 1) × π
    -0.817352294921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56778796504793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55858408} λ = 2.55858408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56778796504793))-π/2
    2×atan(0.076705032111594)-π/2
    2×0.076555125463872-π/2
    0.153110250927744-1.57079632675     		φ = -1.41768608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55858408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.596069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41768608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.227429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118910 KachelY 119102 2.55858408 -1.41768608 146.596069 -81.227429
    Oben rechts KachelX + 1 118911 KachelY 119102 2.55863202 -1.41768608 146.598816 -81.227429
    Unten links KachelX 118910 KachelY + 1 119103 2.55858408 -1.41769339 146.596069 -81.227848
    Unten rechts KachelX + 1 118911 KachelY + 1 119103 2.55863202 -1.41769339 146.598816 -81.227848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41768608--1.41769339) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dl = 46.5720099998892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41768608--1.41769339) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dr = 46.5720099998892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55858408-2.55863202) × cos(-1.41768608) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15251272678698 × 6371000     		do = 46.5813124383008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55858408-2.55863202) × cos(-1.41769339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152505502298892 × 6371000     		du = 46.5791058936801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41768608)-sin(-1.41769339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15251272678698-0.152505502298892)×R²
    abs(2.55863202-2.55858408)×7.22448808881948e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.22448808881948e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.22448808881948e-06×40589641000000     		ar = 2169.33396715608m²