Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118905 / 116875
↖ ↑ ↗
← S 80.243622°
E146.582337°		 ← 51.75 m → S 80.243622°
E146.585083°		 →
↑
51.73 m
↓
↑
51.73 m
↓
S 80.244087°
E146.582337°		 ← 51.74 m →
2 677 m²		 S 80.244087°
E146.585083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907176971435547 y=0.891689300537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907176971435547 × 217)
    floor (0.907176971435547 × 131072)
    floor (118905.5)     		tx = 118905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891689300537109 × 217)
    floor (0.891689300537109 × 131072)
    floor (116875.5)     		ty = 116875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118905 / 116875 ti = "17/118905/116875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118905/116875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118905 ÷ 217
    118905 ÷ 131072     		x = 0.907173156738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116875 ÷ 217
    116875 ÷ 131072     		y = 0.891685485839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907173156738281 × 2 - 1) × π
    0.814346313476562 × 3.1415926535     		Λ = 2.55834440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.891685485839844 × 2 - 1) × π
    -0.783370971679688 × 3.1415926535     		Φ = -2.46103248959406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55834440} λ = 2.55834440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46103248959406))-π/2
    2×atan(0.0853467857921234)-π/2
    2×0.0851404626712446-π/2
    0.170280925342489-1.57079632675     		φ = -1.40051540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55834440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.582337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40051540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.243622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118905 KachelY 116875 2.55834440 -1.40051540 146.582337 -80.243622
    Oben rechts KachelX + 1 118906 KachelY 116875 2.55839233 -1.40051540 146.585083 -80.243622
    Unten links KachelX 118905 KachelY + 1 116876 2.55834440 -1.40052352 146.582337 -80.244087
    Unten rechts KachelX + 1 118906 KachelY + 1 116876 2.55839233 -1.40052352 146.585083 -80.244087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40051540--1.40052352) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dl = 51.7325199996486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40051540--1.40052352) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dr = 51.7325199996486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55834440-2.55839233) × cos(-1.40051540) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169459219557097 × 6371000     		do = 51.7464112862025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55834440-2.55839233) × cos(-1.40052352) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169451216989445 × 6371000     		du = 51.7439676058992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40051540)-sin(-1.40052352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169459219557097-0.169451216989445)×R²
    abs(2.55839233-2.55834440)×8.00256765179364e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.00256765179364e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.00256765179364e-06×40589641000000     		ar = 2676.90904795768m²