Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118904 / 118168
↖ ↑ ↗
← S 80.827405°
E146.579590°		 ← 48.69 m → S 80.827405°
E146.582337°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
S 80.827843°
E146.579590°		 ← 48.69 m →
2 370 m²		 S 80.827843°
E146.582337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907169342041016 y=0.901554107666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907169342041016 × 217)
    floor (0.907169342041016 × 131072)
    floor (118904.5)     		tx = 118904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901554107666016 × 217)
    floor (0.901554107666016 × 131072)
    floor (118168.5)     		ty = 118168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118904 / 118168 ti = "17/118904/118168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118904/118168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118904 ÷ 217
    118904 ÷ 131072     		x = 0.90716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118168 ÷ 217
    118168 ÷ 131072     		y = 0.90155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90716552734375 × 2 - 1) × π
    0.8143310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55829646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90155029296875 × 2 - 1) × π
    -0.8031005859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5230149008028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55829646} λ = 2.55829646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5230149008028))-π/2
    2×atan(0.0802173943232383)-π/2
    2×0.0800459938234676-π/2
    0.160091987646935-1.57079632675     		φ = -1.41070434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55829646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.579590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41070434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.827405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118904 KachelY 118168 2.55829646 -1.41070434 146.579590 -80.827405
    Oben rechts KachelX + 1 118905 KachelY 118168 2.55834440 -1.41070434 146.582337 -80.827405
    Unten links KachelX 118904 KachelY + 1 118169 2.55829646 -1.41071198 146.579590 -80.827843
    Unten rechts KachelX + 1 118905 KachelY + 1 118169 2.55834440 -1.41071198 146.582337 -80.827843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41070434--1.41071198) × R
    7.64000000019749e-06 × 6371000     		dl = 48.6744400012582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41070434--1.41071198) × R
    7.64000000019749e-06 × 6371000     		dr = 48.6744400012582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55829646-2.55834440) × cos(-1.41070434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159409017813709 × 6371000     		do = 48.6876172283934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55829646-2.55834440) × cos(-1.41071198) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159401475504609 × 6371000     		du = 48.6853136130552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41070434)-sin(-1.41071198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159409017813709-0.159401475504609)×R²
    abs(2.55834440-2.55829646)×7.54230910002263e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.54230910002263e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.54230910002263e-06×40589641000000     		ar = 2369.78643983076m²