Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1189 / 681
↖ ↑ ↗
← N 81.666057°
W127.749024°		 ← 708.27 m → N 81.666057°
W127.705078°		 →
↑
708.52 m
↓
↑
708.52 m
↓
N 81.659685°
W127.749024°		 ← 708.81 m →
502 013 m²		 N 81.659685°
W127.705078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14520263671875 y=0.08319091796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14520263671875 × 213)
    floor (0.14520263671875 × 8192)
    floor (1189.5)     		tx = 1189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08319091796875 × 213)
    floor (0.08319091796875 × 8192)
    floor (681.5)     		ty = 681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1189 / 681 ti = "13/1189/681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1189/681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1189 ÷ 213
    1189 ÷ 8192     		x = 0.1451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 681 ÷ 213
    681 ÷ 8192     		y = 0.0831298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1451416015625 × 2 - 1) × π
    -0.709716796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.22964108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0831298828125 × 2 - 1) × π
    0.833740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.61927219523987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22964108} λ = -2.22964108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61927219523987))-π/2
    2×atan(13.7257302970913)-π/2
    2×1.49806895519504-π/2
    2.99613791039008-1.57079632675     		φ = 1.42534158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22964108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.749024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42534158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.666057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1189 KachelY 681 -2.22964108 1.42534158 -127.749024 81.666057
    Oben rechts KachelX + 1 1190 KachelY 681 -2.22887408 1.42534158 -127.705078 81.666057
    Unten links KachelX 1189 KachelY + 1 682 -2.22964108 1.42523037 -127.749024 81.659685
    Unten rechts KachelX + 1 1190 KachelY + 1 682 -2.22887408 1.42523037 -127.705078 81.659685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42534158-1.42523037) × R
    0.000111210000000028 × 6371000     		dl = 708.51891000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42534158-1.42523037) × R
    0.000111210000000028 × 6371000     		dr = 708.51891000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22964108--2.22887408) × cos(1.42534158) × R
    0.00076699999999974 × 0.144942389394114 × 6371000     		do = 708.269247490294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22964108--2.22887408) × cos(1.42523037) × R
    0.00076699999999974 × 0.145052424130675 × 6371000     		du = 708.806938502476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42534158)-sin(1.42523037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144942389394114-0.145052424130675)×R²
    abs(-2.22887408--2.22964108)×0.000110034736560349×R²
    0.00076699999999974×0.000110034736560349×6371000²
    0.00076699999999974×0.000110034736560349×40589641000000     		ar = 502012.637859817m²