Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1189 / 1006
↖ ↑ ↗
← N 79.318942°
W127.749024°		 ← 905.68 m → N 79.318942°
W127.705078°		 →
↑
906.02 m
↓
↑
906.02 m
↓
N 79.310794°
W127.749024°		 ← 906.37 m →
820 876 m²		 N 79.310794°
W127.705078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14520263671875 y=0.12286376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14520263671875 × 213)
    floor (0.14520263671875 × 8192)
    floor (1189.5)     		tx = 1189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12286376953125 × 213)
    floor (0.12286376953125 × 8192)
    floor (1006.5)     		ty = 1006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1189 / 1006 ti = "13/1189/1006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1189/1006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1189 ÷ 213
    1189 ÷ 8192     		x = 0.1451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1006 ÷ 213
    1006 ÷ 8192     		y = 0.122802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1451416015625 × 2 - 1) × π
    -0.709716796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.22964108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122802734375 × 2 - 1) × π
    0.75439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37000031721558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22964108} λ = -2.22964108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37000031721558))-π/2
    2×atan(10.697395677491)-π/2
    2×1.47758650938441-π/2
    2.95517301876881-1.57079632675     		φ = 1.38437669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22964108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.749024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38437669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.318942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1189 KachelY 1006 -2.22964108 1.38437669 -127.749024 79.318942
    Oben rechts KachelX + 1 1190 KachelY 1006 -2.22887408 1.38437669 -127.705078 79.318942
    Unten links KachelX 1189 KachelY + 1 1007 -2.22964108 1.38423448 -127.749024 79.310794
    Unten rechts KachelX + 1 1190 KachelY + 1 1007 -2.22887408 1.38423448 -127.705078 79.310794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38437669-1.38423448) × R
    0.000142210000000143 × 6371000     		dl = 906.019910000908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38437669-1.38423448) × R
    0.000142210000000143 × 6371000     		dr = 906.019910000908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22964108--2.22887408) × cos(1.38437669) × R
    0.00076699999999974 × 0.185341760167756 × 6371000     		do = 905.683075539764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22964108--2.22887408) × cos(1.38423448) × R
    0.00076699999999974 × 0.185481504380165 × 6371000     		du = 906.36594359912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38437669)-sin(1.38423448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185341760167756-0.185481504380165)×R²
    abs(-2.22887408--2.22964108)×0.000139744212408838×R²
    0.00076699999999974×0.000139744212408838×6371000²
    0.00076699999999974×0.000139744212408838×40589641000000     		ar = 820876.246001103m²