Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118896 / 118195
↖ ↑ ↗
← S 80.839219°
E146.557617°		 ← 48.63 m → S 80.839219°
E146.560364°		 →
↑
48.61 m
↓
↑
48.61 m
↓
S 80.839656°
E146.557617°		 ← 48.62 m →
2 364 m²		 S 80.839656°
E146.560364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907108306884766 y=0.901760101318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907108306884766 × 217)
    floor (0.907108306884766 × 131072)
    floor (118896.5)     		tx = 118896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901760101318359 × 217)
    floor (0.901760101318359 × 131072)
    floor (118195.5)     		ty = 118195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118896 / 118195 ti = "17/118896/118195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118896/118195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118896 ÷ 217
    118896 ÷ 131072     		x = 0.9071044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118195 ÷ 217
    118195 ÷ 131072     		y = 0.901756286621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9071044921875 × 2 - 1) × π
    0.814208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55791296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901756286621094 × 2 - 1) × π
    -0.803512573242188 × 3.1415926535     		Φ = -2.52430919709254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55791296} λ = 2.55791296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52430919709254))-π/2
    2×atan(0.0801136364086195)-π/2
    2×0.0799428984523573-π/2
    0.159885796904715-1.57079632675     		φ = -1.41091053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55791296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.557617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41091053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.839219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118896 KachelY 118195 2.55791296 -1.41091053 146.557617 -80.839219
    Oben rechts KachelX + 1 118897 KachelY 118195 2.55796090 -1.41091053 146.560364 -80.839219
    Unten links KachelX 118896 KachelY + 1 118196 2.55791296 -1.41091816 146.557617 -80.839656
    Unten rechts KachelX + 1 118897 KachelY + 1 118196 2.55796090 -1.41091816 146.560364 -80.839656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41091053--1.41091816) × R
    7.63000000003622e-06 × 6371000     		dl = 48.6107300002308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41091053--1.41091816) × R
    7.63000000003622e-06 × 6371000     		dr = 48.6107300002308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55791296-2.55796090) × cos(-1.41091053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15920546105562 × 6371000     		do = 48.6254457549222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55791296-2.55796090) × cos(-1.41091816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159197928368038 × 6371000     		du = 48.6231450782431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41091053)-sin(-1.41091816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15920546105562-0.159197928368038)×R²
    abs(2.55796090-2.55791296)×7.53268758241221e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.53268758241221e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.53268758241221e-06×40589641000000     		ar = 2363.66249595967m²