Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118896 / 117680
↖ ↑ ↗
← S 80.611258°
E146.557617°		 ← 49.82 m → S 80.611258°
E146.560364°		 →
↑
49.82 m
↓
↑
49.82 m
↓
S 80.611706°
E146.557617°		 ← 49.82 m →
2 482 m²		 S 80.611706°
E146.560364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907108306884766 y=0.897830963134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907108306884766 × 217)
    floor (0.907108306884766 × 131072)
    floor (118896.5)     		tx = 118896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.897830963134766 × 217)
    floor (0.897830963134766 × 131072)
    floor (117680.5)     		ty = 117680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118896 / 117680 ti = "17/118896/117680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118896/117680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118896 ÷ 217
    118896 ÷ 131072     		x = 0.9071044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117680 ÷ 217
    117680 ÷ 131072     		y = 0.8978271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9071044921875 × 2 - 1) × π
    0.814208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55791296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8978271484375 × 2 - 1) × π
    -0.795654296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.49962169378821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55791296} λ = 2.55791296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49962169378821))-π/2
    2×atan(0.0821160577633354)-π/2
    2×0.0819322301164798-π/2
    0.16386446023296-1.57079632675     		φ = -1.40693187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55791296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.557617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40693187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.611258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118896 KachelY 117680 2.55791296 -1.40693187 146.557617 -80.611258
    Oben rechts KachelX + 1 118897 KachelY 117680 2.55796090 -1.40693187 146.560364 -80.611258
    Unten links KachelX 118896 KachelY + 1 117681 2.55791296 -1.40693969 146.557617 -80.611706
    Unten rechts KachelX + 1 118897 KachelY + 1 117681 2.55796090 -1.40693969 146.560364 -80.611706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40693187--1.40693969) × R
    7.81999999999172e-06 × 6371000     		dl = 49.8212199999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40693187--1.40693969) × R
    7.81999999999172e-06 × 6371000     		dr = 49.8212199999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55791296-2.55796090) × cos(-1.40693187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163132104672143 × 6371000     		do = 49.824743787214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55791296-2.55796090) × cos(-1.40693969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163124389422038 × 6371000     		du = 49.8223873512413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40693187)-sin(-1.40693969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163132104672143-0.163124389422038)×R²
    abs(2.55796090-2.55791296)×7.7152501052058e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.7152501052058e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.7152501052058e-06×40589641000000     		ar = 2482.27082156086m²