Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118889 / 116855
↖ ↑ ↗
← S 80.234309°
E146.538391°		 ← 51.80 m → S 80.234309°
E146.541138°		 →
↑
51.80 m
↓
↑
51.80 m
↓
S 80.234775°
E146.538391°		 ← 51.79 m →
2 683 m²		 S 80.234775°
E146.541138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907054901123047 y=0.891536712646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907054901123047 × 217)
    floor (0.907054901123047 × 131072)
    floor (118889.5)     		tx = 118889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891536712646484 × 217)
    floor (0.891536712646484 × 131072)
    floor (116855.5)     		ty = 116855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118889 / 116855 ti = "17/118889/116855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118889/116855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118889 ÷ 217
    118889 ÷ 131072     		x = 0.907051086425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116855 ÷ 217
    116855 ÷ 131072     		y = 0.891532897949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907051086425781 × 2 - 1) × π
    0.814102172851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.55757741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.891532897949219 × 2 - 1) × π
    -0.783065795898438 × 3.1415926535     		Φ = -2.46007375160166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55757741} λ = 2.55757741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46007375160166))-π/2
    2×atan(0.0854286502351969)-π/2
    2×0.0852217345558926-π/2
    0.170443469111785-1.57079632675     		φ = -1.40035286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55757741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.538391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40035286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.234309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118889 KachelY 116855 2.55757741 -1.40035286 146.538391 -80.234309
    Oben rechts KachelX + 1 118890 KachelY 116855 2.55762534 -1.40035286 146.541138 -80.234309
    Unten links KachelX 118889 KachelY + 1 116856 2.55757741 -1.40036099 146.538391 -80.234775
    Unten rechts KachelX + 1 118890 KachelY + 1 116856 2.55762534 -1.40036099 146.541138 -80.234775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40035286--1.40036099) × R
    8.13000000010611e-06 × 6371000     		dl = 51.796230000676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40035286--1.40036099) × R
    8.13000000010611e-06 × 6371000     		dr = 51.796230000676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55757741-2.55762534) × cos(-1.40035286) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169619406534414 × 6371000     		do = 51.7953263067755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55757741-2.55762534) × cos(-1.40036099) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169611394335408 × 6371000     		du = 51.7928796854225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40035286)-sin(-1.40036099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169619406534414-0.169611394335408)×R²
    abs(2.55762534-2.55757741)×8.01219900523065e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.01219900523065e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.01219900523065e-06×40589641000000     		ar = 2682.73927138426m²