Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118888 / 116856
↖ ↑ ↗
← S 80.234775°
E146.535645°		 ← 51.80 m → S 80.234775°
E146.538391°		 →
↑
51.80 m
↓
↑
51.80 m
↓
S 80.235240°
E146.535645°		 ← 51.80 m →
2 683 m²		 S 80.235240°
E146.538391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907047271728516 y=0.891544342041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907047271728516 × 217)
    floor (0.907047271728516 × 131072)
    floor (118888.5)     		tx = 118888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.891544342041016 × 217)
    floor (0.891544342041016 × 131072)
    floor (116856.5)     		ty = 116856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118888 / 116856 ti = "17/118888/116856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118888/116856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118888 ÷ 217
    118888 ÷ 131072     		x = 0.90704345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116856 ÷ 217
    116856 ÷ 131072     		y = 0.89154052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90704345703125 × 2 - 1) × π
    0.8140869140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55752947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89154052734375 × 2 - 1) × π
    -0.7830810546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.46012168850128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55752947} λ = 2.55752947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46012168850128))-π/2
    2×atan(0.0854245551487195)-π/2
    2×0.0852176691376362-π/2
    0.170435338275272-1.57079632675     		φ = -1.40036099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55752947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.535645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40036099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.234775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118888 KachelY 116856 2.55752947 -1.40036099 146.535645 -80.234775
    Oben rechts KachelX + 1 118889 KachelY 116856 2.55757741 -1.40036099 146.538391 -80.234775
    Unten links KachelX 118888 KachelY + 1 116857 2.55752947 -1.40036912 146.535645 -80.235240
    Unten rechts KachelX + 1 118889 KachelY + 1 116857 2.55757741 -1.40036912 146.538391 -80.235240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40036099--1.40036912) × R
    8.12999999988406e-06 × 6371000     		dl = 51.7962299992614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40036099--1.40036912) × R
    8.12999999988406e-06 × 6371000     		dr = 51.7962299992614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55752947-2.55757741) × cos(-1.40036099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169611394335408 × 6371000     		do = 51.8036856272899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55752947-2.55757741) × cos(-1.40036912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169603382125192 × 6371000     		du = 51.8012384920557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40036099)-sin(-1.40036912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169611394335408-0.169603382125192)×R²
    abs(2.55757741-2.55752947)×8.01221021581866e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.01221021581866e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.01221021581866e-06×40589641000000     		ar = 2683.17223935619m²