Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118884 / 117660
↖ ↑ ↗
← S 80.602293°
E146.524658°		 ← 49.87 m → S 80.602293°
E146.527405°		 →
↑
49.88 m
↓
↑
49.88 m
↓
S 80.602741°
E146.524658°		 ← 49.87 m →
2 488 m²		 S 80.602741°
E146.527405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907016754150391 y=0.897678375244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907016754150391 × 217)
    floor (0.907016754150391 × 131072)
    floor (118884.5)     		tx = 118884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.897678375244141 × 217)
    floor (0.897678375244141 × 131072)
    floor (117660.5)     		ty = 117660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118884 / 117660 ti = "17/118884/117660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118884/117660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118884 ÷ 217
    118884 ÷ 131072     		x = 0.907012939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117660 ÷ 217
    117660 ÷ 131072     		y = 0.897674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.907012939453125 × 2 - 1) × π
    0.81402587890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55733772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.897674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.79534912109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.49866295579581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55733772} λ = 2.55733772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49866295579581))-π/2
    2×atan(0.082194823299422)-π/2
    2×0.0820104675874331-π/2
    0.164020935174866-1.57079632675     		φ = -1.40677539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55733772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.524658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40677539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.602293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118884 KachelY 117660 2.55733772 -1.40677539 146.524658 -80.602293
    Oben rechts KachelX + 1 118885 KachelY 117660 2.55738566 -1.40677539 146.527405 -80.602293
    Unten links KachelX 118884 KachelY + 1 117661 2.55733772 -1.40678322 146.524658 -80.602741
    Unten rechts KachelX + 1 118885 KachelY + 1 117661 2.55738566 -1.40678322 146.527405 -80.602741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40677539--1.40678322) × R
    7.82999999993095e-06 × 6371000     		dl = 49.8849299995601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40677539--1.40678322) × R
    7.82999999993095e-06 × 6371000     		dr = 49.8849299995601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55733772-2.55738566) × cos(-1.40677539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163286486504973 × 6371000     		do = 49.8718959727485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55733772-2.55738566) × cos(-1.40678322) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163278761588778 × 6371000     		du = 49.8695365845033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40677539)-sin(-1.40678322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163286486504973-0.163278761588778)×R²
    abs(2.55738566-2.55733772)×7.72491619469018e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.72491619469018e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.72491619469018e-06×40589641000000     		ar = 2487.79719039725m²