Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118876 / 119069
↖ ↑ ↗
← S 81.213594°
E146.502686°		 ← 46.64 m → S 81.213594°
E146.505432°		 →
↑
46.70 m
↓
↑
46.70 m
↓
S 81.214014°
E146.502686°		 ← 46.64 m →
2 178 m²		 S 81.214014°
E146.505432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906955718994141 y=0.908428192138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906955718994141 × 217)
    floor (0.906955718994141 × 131072)
    floor (118876.5)     		tx = 118876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908428192138672 × 217)
    floor (0.908428192138672 × 131072)
    floor (119069.5)     		ty = 119069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118876 / 119069 ti = "17/118876/119069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118876/119069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118876 ÷ 217
    118876 ÷ 131072     		x = 0.906951904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119069 ÷ 217
    119069 ÷ 131072     		y = 0.908424377441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906951904296875 × 2 - 1) × π
    0.81390380859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55695423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908424377441406 × 2 - 1) × π
    -0.816848754882812 × 3.1415926535     		Φ = -2.56620604736047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55695423} λ = 2.55695423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56620604736047))-π/2
    2×atan(0.0768264691850116)-π/2
    2×0.0766758511033089-π/2
    0.153351702206618-1.57079632675     		φ = -1.41744462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55695423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.502686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41744462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.213594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118876 KachelY 119069 2.55695423 -1.41744462 146.502686 -81.213594
    Oben rechts KachelX + 1 118877 KachelY 119069 2.55700216 -1.41744462 146.505432 -81.213594
    Unten links KachelX 118876 KachelY + 1 119070 2.55695423 -1.41745195 146.502686 -81.214014
    Unten rechts KachelX + 1 118877 KachelY + 1 119070 2.55700216 -1.41745195 146.505432 -81.214014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41744462--1.41745195) × R
    7.3300000000831e-06 × 6371000     		dl = 46.6994300005295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41744462--1.41745195) × R
    7.3300000000831e-06 × 6371000     		dr = 46.6994300005295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55695423-2.55700216) × cos(-1.41744462) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152751357620503 × 6371000     		do = 46.6444646482812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55695423-2.55700216) × cos(-1.41745195) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152744113636499 × 6371000     		du = 46.6422526106204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41744462)-sin(-1.41745195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152751357620503-0.152744113636499)×R²
    abs(2.55700216-2.55695423)×7.24398400406279e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.24398400406279e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.24398400406279e-06×40589641000000     		ar = 2178.21826139212m²