Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118870 / 119033
↖ ↑ ↗
← S 81.198478°
E146.486206°		 ← 46.73 m → S 81.198478°
E146.488953°		 →
↑
46.76 m
↓
↑
46.76 m
↓
S 81.198899°
E146.486206°		 ← 46.73 m →
2 185 m²		 S 81.198899°
E146.488953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906909942626953 y=0.908153533935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906909942626953 × 217)
    floor (0.906909942626953 × 131072)
    floor (118870.5)     		tx = 118870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908153533935547 × 217)
    floor (0.908153533935547 × 131072)
    floor (119033.5)     		ty = 119033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118870 / 119033 ti = "17/118870/119033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118870/119033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118870 ÷ 217
    118870 ÷ 131072     		x = 0.906906127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119033 ÷ 217
    119033 ÷ 131072     		y = 0.908149719238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906906127929688 × 2 - 1) × π
    0.813812255859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55666660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908149719238281 × 2 - 1) × π
    -0.816299438476562 × 3.1415926535     		Φ = -2.56448031897414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55666660} λ = 2.55666660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56448031897414))-π/2
    2×atan(0.0769591652694726)-π/2
    2×0.076807767232761-π/2
    0.153615534465522-1.57079632675     		φ = -1.41718079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55666660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.486206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41718079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.198478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118870 KachelY 119033 2.55666660 -1.41718079 146.486206 -81.198478
    Oben rechts KachelX + 1 118871 KachelY 119033 2.55671454 -1.41718079 146.488953 -81.198478
    Unten links KachelX 118870 KachelY + 1 119034 2.55666660 -1.41718813 146.486206 -81.198899
    Unten rechts KachelX + 1 118871 KachelY + 1 119034 2.55671454 -1.41718813 146.488953 -81.198899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41718079--1.41718813) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dl = 46.7631400001423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41718079--1.41718813) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dr = 46.7631400001423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55666660-2.55671454) × cos(-1.41718079) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.153012086164436 × 6371000     		do = 46.7338296461189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55666660-2.55671454) × cos(-1.41718813) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.153004832593825 × 6371000     		du = 46.7316142189472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41718079)-sin(-1.41718813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153012086164436-0.153004832593825)×R²
    abs(2.55671454-2.55666660)×7.25357061143184e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.25357061143184e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.25357061143184e-06×40589641000000     		ar = 2185.36881816962m²