Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 118863 / 119099
↖ ↑ ↗
← S 81.226172°
E146.466980°		 ← 46.58 m → S 81.226172°
E146.469726°		 →
↑
46.57 m
↓
↑
46.57 m
↓
S 81.226591°
E146.466980°		 ← 46.58 m →
2 169 m²		 S 81.226591°
E146.469726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906856536865234 y=0.908657073974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906856536865234 × 217)
    floor (0.906856536865234 × 131072)
    floor (118863.5)     		tx = 118863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908657073974609 × 217)
    floor (0.908657073974609 × 131072)
    floor (119099.5)     		ty = 119099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118863 / 119099 ti = "17/118863/119099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118863/119099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118863 ÷ 217
    118863 ÷ 131072     		x = 0.906852722167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119099 ÷ 217
    119099 ÷ 131072     		y = 0.908653259277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906852722167969 × 2 - 1) × π
    0.813705444335938 × 3.1415926535     		Λ = 2.55633105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908653259277344 × 2 - 1) × π
    -0.817306518554688 × 3.1415926535     		Φ = -2.56764415434907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55633105} λ = 2.55633105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56764415434907))-π/2
    2×atan(0.0767160639090943)-π/2
    2×0.0765660927244377-π/2
    0.153132185448875-1.57079632675     		φ = -1.41766414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55633105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.466980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41766414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.226172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118863 KachelY 119099 2.55633105 -1.41766414 146.466980 -81.226172
    Oben rechts KachelX + 1 118864 KachelY 119099 2.55637898 -1.41766414 146.469726 -81.226172
    Unten links KachelX 118863 KachelY + 1 119100 2.55633105 -1.41767145 146.466980 -81.226591
    Unten rechts KachelX + 1 118864 KachelY + 1 119100 2.55637898 -1.41767145 146.469726 -81.226591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41766414--1.41767145) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dl = 46.5720099998892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41766414--1.41767145) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dr = 46.5720099998892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55633105-2.55637898) × cos(-1.41766414) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152534410085329 × 6371000     		do = 46.578217108537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55633105-2.55637898) × cos(-1.41767145) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152527185621701 × 6371000     		du = 46.576011031658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41766414)-sin(-1.41767145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152534410085329-0.152527185621701)×R²
    abs(2.55637898-2.55633105)×7.22446362746987e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.22446362746987e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.22446362746987e-06×40589641000000     		ar = 2169.18982207709m²