Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118860 / 119068
↖ ↑ ↗
← S 81.213175°
E146.458741°		 ← 46.65 m → S 81.213175°
E146.461487°		 →
↑
46.64 m
↓
↑
46.64 m
↓
S 81.213594°
E146.458741°		 ← 46.64 m →
2 175 m²		 S 81.213594°
E146.461487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906833648681641 y=0.908420562744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906833648681641 × 217)
    floor (0.906833648681641 × 131072)
    floor (118860.5)     		tx = 118860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908420562744141 × 217)
    floor (0.908420562744141 × 131072)
    floor (119068.5)     		ty = 119068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118860 / 119068 ti = "17/118860/119068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118860/119068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118860 ÷ 217
    118860 ÷ 131072     		x = 0.906829833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119068 ÷ 217
    119068 ÷ 131072     		y = 0.908416748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906829833984375 × 2 - 1) × π
    0.81365966796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55618724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908416748046875 × 2 - 1) × π
    -0.81683349609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.56615811046085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55618724} λ = 2.55618724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56615811046085))-π/2
    2×atan(0.076830152096026)-π/2
    2×0.0766795124031739-π/2
    0.153359024806348-1.57079632675     		φ = -1.41743730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55618724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.458741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41743730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.213175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118860 KachelY 119068 2.55618724 -1.41743730 146.458741 -81.213175
    Oben rechts KachelX + 1 118861 KachelY 119068 2.55623517 -1.41743730 146.461487 -81.213175
    Unten links KachelX 118860 KachelY + 1 119069 2.55618724 -1.41744462 146.458741 -81.213594
    Unten rechts KachelX + 1 118861 KachelY + 1 119069 2.55623517 -1.41744462 146.461487 -81.213594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41743730--1.41744462) × R
    7.31999999992183e-06 × 6371000     		dl = 46.635719999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41743730--1.41744462) × R
    7.31999999992183e-06 × 6371000     		dr = 46.635719999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55618724-2.55623517) × cos(-1.41743730) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152758591713664 × 6371000     		do = 46.6466736656542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55618724-2.55623517) × cos(-1.41744462) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152751357620503 × 6371000     		du = 46.6444646482812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41743730)-sin(-1.41744462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152758591713664-0.152751357620503)×R²
    abs(2.55623517-2.55618724)×7.23409316141788e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.23409316141788e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.23409316141788e-06×40589641000000     		ar = 2175.34970246038m²