Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118860 / 119052
↖ ↑ ↗
← S 81.206459°
E146.458741°		 ← 46.68 m → S 81.206459°
E146.461487°		 →
↑
46.70 m
↓
↑
46.70 m
↓
S 81.206879°
E146.458741°		 ← 46.68 m →
2 180 m²		 S 81.206879°
E146.461487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906833648681641 y=0.908298492431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906833648681641 × 217)
    floor (0.906833648681641 × 131072)
    floor (118860.5)     		tx = 118860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908298492431641 × 217)
    floor (0.908298492431641 × 131072)
    floor (119052.5)     		ty = 119052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118860 / 119052 ti = "17/118860/119052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118860/119052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118860 ÷ 217
    118860 ÷ 131072     		x = 0.906829833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119052 ÷ 217
    119052 ÷ 131072     		y = 0.908294677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906829833984375 × 2 - 1) × π
    0.81365966796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55618724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908294677734375 × 2 - 1) × π
    -0.81658935546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56539112006693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55618724} λ = 2.55618724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56539112006693))-π/2
    2×atan(0.0768891026890265)-π/2
    2×0.0767381167964289-π/2
    0.153476233592858-1.57079632675     		φ = -1.41732009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55618724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.458741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41732009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.206459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118860 KachelY 119052 2.55618724 -1.41732009 146.458741 -81.206459
    Oben rechts KachelX + 1 118861 KachelY 119052 2.55623517 -1.41732009 146.461487 -81.206459
    Unten links KachelX 118860 KachelY + 1 119053 2.55618724 -1.41732742 146.458741 -81.206879
    Unten rechts KachelX + 1 118861 KachelY + 1 119053 2.55623517 -1.41732742 146.461487 -81.206879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41732009--1.41732742) × R
    7.32999999986106e-06 × 6371000     		dl = 46.6994299991148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41732009--1.41732742) × R
    7.32999999986106e-06 × 6371000     		dr = 46.6994299991148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55618724-2.55623517) × cos(-1.41732009) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152874425032907 × 6371000     		do = 46.68204476316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55618724-2.55623517) × cos(-1.41732742) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152867181188389 × 6371000     		du = 46.6798327680928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41732009)-sin(-1.41732742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152874425032907-0.152867181188389)×R²
    abs(2.55623517-2.55618724)×7.24384451877835e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.24384451877835e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.24384451877835e-06×40589641000000     		ar = 2179.9732323018m²