Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118859 / 119050
↖ ↑ ↗
← S 81.205620°
E146.455994°		 ← 46.70 m → S 81.205620°
E146.458741°		 →
↑
46.64 m
↓
↑
46.64 m
↓
S 81.206039°
E146.455994°		 ← 46.69 m →
2 178 m²		 S 81.206039°
E146.458741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906826019287109 y=0.908283233642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906826019287109 × 217)
    floor (0.906826019287109 × 131072)
    floor (118859.5)     		tx = 118859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908283233642578 × 217)
    floor (0.908283233642578 × 131072)
    floor (119050.5)     		ty = 119050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118859 / 119050 ti = "17/118859/119050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118859/119050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118859 ÷ 217
    118859 ÷ 131072     		x = 0.906822204589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119050 ÷ 217
    119050 ÷ 131072     		y = 0.908279418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906822204589844 × 2 - 1) × π
    0.813644409179688 × 3.1415926535     		Λ = 2.55613930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908279418945312 × 2 - 1) × π
    -0.816558837890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56529524626768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55613930} λ = 2.55613930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56529524626768))-π/2
    2×atan(0.0768964746928068)-π/2
    2×0.0767454454694232-π/2
    0.153490890938846-1.57079632675     		φ = -1.41730544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55613930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.455994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41730544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.205620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118859 KachelY 119050 2.55613930 -1.41730544 146.455994 -81.205620
    Oben rechts KachelX + 1 118860 KachelY 119050 2.55618724 -1.41730544 146.458741 -81.205620
    Unten links KachelX 118859 KachelY + 1 119051 2.55613930 -1.41731276 146.455994 -81.206039
    Unten rechts KachelX + 1 118860 KachelY + 1 119051 2.55618724 -1.41731276 146.458741 -81.206039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41730544--1.41731276) × R
    7.31999999992183e-06 × 6371000     		dl = 46.635719999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41730544--1.41731276) × R
    7.31999999992183e-06 × 6371000     		dr = 46.635719999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55613930-2.55618724) × cos(-1.41730544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15288890281487 × 6371000     		do = 46.6962062799891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55613930-2.55618724) × cos(-1.41731276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152881668869213 × 6371000     		du = 46.6939968467836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41730544)-sin(-1.41731276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15288890281487-0.152881668869213)×R²
    abs(2.55618724-2.55613930)×7.23394565710356e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.23394565710356e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.23394565710356e-06×40589641000000     		ar = 2177.65968180729m²