Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118858 / 119067
↖ ↑ ↗
← S 81.212756°
E146.453247°		 ← 46.66 m → S 81.212756°
E146.455994°		 →
↑
46.64 m
↓
↑
46.64 m
↓
S 81.213175°
E146.453247°		 ← 46.66 m →
2 176 m²		 S 81.213175°
E146.455994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906818389892578 y=0.908412933349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906818389892578 × 217)
    floor (0.906818389892578 × 131072)
    floor (118858.5)     		tx = 118858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908412933349609 × 217)
    floor (0.908412933349609 × 131072)
    floor (119067.5)     		ty = 119067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118858 / 119067 ti = "17/118858/119067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118858/119067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118858 ÷ 217
    118858 ÷ 131072     		x = 0.906814575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119067 ÷ 217
    119067 ÷ 131072     		y = 0.908409118652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906814575195312 × 2 - 1) × π
    0.813629150390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55609136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908409118652344 × 2 - 1) × π
    -0.816818237304688 × 3.1415926535     		Φ = -2.56611017356123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55609136} λ = 2.55609136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56611017356123))-π/2
    2×atan(0.076833835183592)-π/2
    2×0.0766831738764945-π/2
    0.153366347752989-1.57079632675     		φ = -1.41742998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55609136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.453247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41742998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.212756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118858 KachelY 119067 2.55609136 -1.41742998 146.453247 -81.212756
    Oben rechts KachelX + 1 118859 KachelY 119067 2.55613930 -1.41742998 146.455994 -81.212756
    Unten links KachelX 118858 KachelY + 1 119068 2.55609136 -1.41743730 146.453247 -81.213175
    Unten rechts KachelX + 1 118859 KachelY + 1 119068 2.55613930 -1.41743730 146.455994 -81.213175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41742998--1.41743730) × R
    7.31999999992183e-06 × 6371000     		dl = 46.635719999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41742998--1.41743730) × R
    7.31999999992183e-06 × 6371000     		dr = 46.635719999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55609136-2.55613930) × cos(-1.41742998) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15276582579864 × 6371000     		do = 46.6586153912302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55609136-2.55613930) × cos(-1.41743730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152758591713664 × 6371000     		du = 46.6564059154731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41742998)-sin(-1.41743730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15276582579864-0.152758591713664)×R²
    abs(2.55613930-2.55609136)×7.23408497624312e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.23408497624312e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.23408497624312e-06×40589641000000     		ar = 2175.90660273914m²