Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118856 / 119064
↖ ↑ ↗
← S 81.211497°
E146.447754°		 ← 46.66 m → S 81.211497°
E146.450500°		 →
↑
46.64 m
↓
↑
46.64 m
↓
S 81.211916°
E146.447754°		 ← 46.65 m →
2 176 m²		 S 81.211916°
E146.450500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906803131103516 y=0.908390045166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906803131103516 × 217)
    floor (0.906803131103516 × 131072)
    floor (118856.5)     		tx = 118856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908390045166016 × 217)
    floor (0.908390045166016 × 131072)
    floor (119064.5)     		ty = 119064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118856 / 119064 ti = "17/118856/119064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118856/119064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118856 ÷ 217
    118856 ÷ 131072     		x = 0.90679931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119064 ÷ 217
    119064 ÷ 131072     		y = 0.90838623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90679931640625 × 2 - 1) × π
    0.8135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55599549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90838623046875 × 2 - 1) × π
    -0.8167724609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.56596636286237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55599549} λ = 2.55599549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56596636286237))-π/2
    2×atan(0.0768448855056841)-π/2
    2×0.0766941593372699-π/2
    0.15338831867454-1.57079632675     		φ = -1.41740801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55599549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.447754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41740801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.211497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118856 KachelY 119064 2.55599549 -1.41740801 146.447754 -81.211497
    Oben rechts KachelX + 1 118857 KachelY 119064 2.55604342 -1.41740801 146.450500 -81.211497
    Unten links KachelX 118856 KachelY + 1 119065 2.55599549 -1.41741533 146.447754 -81.211916
    Unten rechts KachelX + 1 118857 KachelY + 1 119065 2.55604342 -1.41741533 146.450500 -81.211916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41740801--1.41741533) × R
    7.32000000014388e-06 × 6371000     		dl = 46.6357200009166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41740801--1.41741533) × R
    7.32000000014388e-06 × 6371000     		dr = 46.6357200009166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55599549-2.55604342) × cos(-1.41740801) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152787537887045 × 6371000     		do = 46.6555127279185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55599549-2.55604342) × cos(-1.41741533) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152780303826638 × 6371000     		du = 46.6533037205474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41740801)-sin(-1.41741533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152787537887045-0.152780303826638)×R²
    abs(2.55604342-2.55599549)×7.23406040745167e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.23406040745167e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.23406040745167e-06×40589641000000     		ar = 2175.76191863931m²