Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118856 / 119048
↖ ↑ ↗
← S 81.204780°
E146.447754°		 ← 46.69 m → S 81.204780°
E146.450500°		 →
↑
46.70 m
↓
↑
46.70 m
↓
S 81.205200°
E146.447754°		 ← 46.69 m →
2 180 m²		 S 81.205200°
E146.450500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906803131103516 y=0.908267974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906803131103516 × 217)
    floor (0.906803131103516 × 131072)
    floor (118856.5)     		tx = 118856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908267974853516 × 217)
    floor (0.908267974853516 × 131072)
    floor (119048.5)     		ty = 119048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118856 / 119048 ti = "17/118856/119048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118856/119048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118856 ÷ 217
    118856 ÷ 131072     		x = 0.90679931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119048 ÷ 217
    119048 ÷ 131072     		y = 0.90826416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90679931640625 × 2 - 1) × π
    0.8135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55599549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90826416015625 × 2 - 1) × π
    -0.8165283203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56519937246844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55599549} λ = 2.55599549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56519937246844))-π/2
    2×atan(0.076903847403403)-π/2
    2×0.0767527748368175-π/2
    0.153505549673635-1.57079632675     		φ = -1.41729078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55599549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.447754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41729078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.204780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118856 KachelY 119048 2.55599549 -1.41729078 146.447754 -81.204780
    Oben rechts KachelX + 1 118857 KachelY 119048 2.55604342 -1.41729078 146.450500 -81.204780
    Unten links KachelX 118856 KachelY + 1 119049 2.55599549 -1.41729811 146.447754 -81.205200
    Unten rechts KachelX + 1 118857 KachelY + 1 119049 2.55604342 -1.41729811 146.450500 -81.205200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41729078--1.41729811) × R
    7.32999999986106e-06 × 6371000     		dl = 46.6994299991148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41729078--1.41729811) × R
    7.32999999986106e-06 × 6371000     		dr = 46.6994299991148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55599549-2.55604342) × cos(-1.41729078) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15290339044643 × 6371000     		do = 46.6908897006331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55599549-2.55604342) × cos(-1.41729811) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152896146634758 × 6371000     		du = 46.6886777155958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41729078)-sin(-1.41729811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15290339044643-0.152896146634758)×R²
    abs(2.55604342-2.55599549)×7.24381167258037e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.24381167258037e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.24381167258037e-06×40589641000000     		ar = 2180.38628608846m²