Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118855 / 119036
↖ ↑ ↗
← S 81.199739°
E146.445007°		 ← 46.73 m → S 81.199739°
E146.447754°		 →
↑
46.70 m
↓
↑
46.70 m
↓
S 81.200159°
E146.445007°		 ← 46.72 m →
2 182 m²		 S 81.200159°
E146.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906795501708984 y=0.908176422119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906795501708984 × 217)
    floor (0.906795501708984 × 131072)
    floor (118855.5)     		tx = 118855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908176422119141 × 217)
    floor (0.908176422119141 × 131072)
    floor (119036.5)     		ty = 119036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118855 / 119036 ti = "17/118855/119036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118855/119036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118855 ÷ 217
    118855 ÷ 131072     		x = 0.906791687011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119036 ÷ 217
    119036 ÷ 131072     		y = 0.908172607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906791687011719 × 2 - 1) × π
    0.813583374023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.55594755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908172607421875 × 2 - 1) × π
    -0.81634521484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.564624129673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55594755} λ = 2.55594755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.564624129673))-π/2
    2×atan(0.0769480985139095)-π/2
    2×0.0767967656271821-π/2
    0.153593531254364-1.57079632675     		φ = -1.41720280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55594755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.445007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41720280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.199739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118855 KachelY 119036 2.55594755 -1.41720280 146.445007 -81.199739
    Oben rechts KachelX + 1 118856 KachelY 119036 2.55599549 -1.41720280 146.447754 -81.199739
    Unten links KachelX 118855 KachelY + 1 119037 2.55594755 -1.41721013 146.445007 -81.200159
    Unten rechts KachelX + 1 118856 KachelY + 1 119037 2.55599549 -1.41721013 146.447754 -81.200159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41720280--1.41721013) × R
    7.32999999986106e-06 × 6371000     		dl = 46.6994299991148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41720280--1.41721013) × R
    7.32999999986106e-06 × 6371000     		dr = 46.6994299991148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55594755-2.55599549) × cos(-1.41720280) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152990335310149 × 6371000     		do = 46.7271863749198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55594755-2.55599549) × cos(-1.41721013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152983091597109 × 6371000     		du = 46.7249739585041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41720280)-sin(-1.41721013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152990335310149-0.152983091597109)×R²
    abs(2.55599549-2.55594755)×7.24371304047788e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.24371304047788e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.24371304047788e-06×40589641000000     		ar = 2182.08131000677m²