Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118853 / 116932
↖ ↑ ↗
← S 80.270116°
E146.439514°		 ← 51.61 m → S 80.270116°
E146.442261°		 →
↑
51.61 m
↓
↑
51.61 m
↓
S 80.270580°
E146.439514°		 ← 51.60 m →
2 663 m²		 S 80.270580°
E146.442261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906780242919922 y=0.892124176025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906780242919922 × 217)
    floor (0.906780242919922 × 131072)
    floor (118853.5)     		tx = 118853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.892124176025391 × 217)
    floor (0.892124176025391 × 131072)
    floor (116932.5)     		ty = 116932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118853 / 116932 ti = "17/118853/116932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118853/116932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118853 ÷ 217
    118853 ÷ 131072     		x = 0.906776428222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116932 ÷ 217
    116932 ÷ 131072     		y = 0.892120361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906776428222656 × 2 - 1) × π
    0.813552856445312 × 3.1415926535     		Λ = 2.55585168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.892120361328125 × 2 - 1) × π
    -0.78424072265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.46376489287241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55585168} λ = 2.55585168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46376489287241))-π/2
    2×atan(0.0851139022655776)-π/2
    2×0.0849092586605568-π/2
    0.169818517321114-1.57079632675     		φ = -1.40097781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55585168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.439514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40097781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.270116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118853 KachelY 116932 2.55585168 -1.40097781 146.439514 -80.270116
    Oben rechts KachelX + 1 118854 KachelY 116932 2.55589961 -1.40097781 146.442261 -80.270116
    Unten links KachelX 118853 KachelY + 1 116933 2.55585168 -1.40098591 146.439514 -80.270580
    Unten rechts KachelX + 1 118854 KachelY + 1 116933 2.55589961 -1.40098591 146.442261 -80.270580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40097781--1.40098591) × R
    8.09999999984434e-06 × 6371000     		dl = 51.6050999990083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40097781--1.40098591) × R
    8.09999999984434e-06 × 6371000     		dr = 51.6050999990083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55585168-2.55589961) × cos(-1.40097781) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.16900347919947 × 6371000     		do = 51.6072454854445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55585168-2.55589961) × cos(-1.40098591) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.168995495708745 × 6371000     		du = 51.6048076305103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40097781)-sin(-1.40098591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16900347919947-0.168995495708745)×R²
    abs(2.55589961-2.55585168)×7.98349072483884e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.98349072483884e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.98349072483884e-06×40589641000000     		ar = 2663.13416105563m²