Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118852 / 119076
↖ ↑ ↗
← S 81.216531°
E146.436768°		 ← 46.64 m → S 81.216531°
E146.439514°		 →
↑
46.64 m
↓
↑
46.64 m
↓
S 81.216950°
E146.436768°		 ← 46.64 m →
2 175 m²		 S 81.216950°
E146.439514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906772613525391 y=0.908481597900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906772613525391 × 217)
    floor (0.906772613525391 × 131072)
    floor (118852.5)     		tx = 118852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908481597900391 × 217)
    floor (0.908481597900391 × 131072)
    floor (119076.5)     		ty = 119076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118852 / 119076 ti = "17/118852/119076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118852/119076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118852 ÷ 217
    118852 ÷ 131072     		x = 0.906768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119076 ÷ 217
    119076 ÷ 131072     		y = 0.908477783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906768798828125 × 2 - 1) × π
    0.81353759765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55580374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908477783203125 × 2 - 1) × π
    -0.81695556640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56654160565781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55580374} λ = 2.55580374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56654160565781))-π/2
    2×atan(0.0768006937506435)-π/2
    2×0.0766502268603369-π/2
    0.153300453720674-1.57079632675     		φ = -1.41749587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55580374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.436768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41749587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.216531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118852 KachelY 119076 2.55580374 -1.41749587 146.436768 -81.216531
    Oben rechts KachelX + 1 118853 KachelY 119076 2.55585168 -1.41749587 146.439514 -81.216531
    Unten links KachelX 118852 KachelY + 1 119077 2.55580374 -1.41750319 146.436768 -81.216950
    Unten rechts KachelX + 1 118853 KachelY + 1 119077 2.55585168 -1.41750319 146.439514 -81.216950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41749587--1.41750319) × R
    7.31999999992183e-06 × 6371000     		dl = 46.635719999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41749587--1.41750319) × R
    7.31999999992183e-06 × 6371000     		dr = 46.635719999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55580374-2.55585168) × cos(-1.41749587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152700708856495 × 6371000     		do = 46.638727000989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55580374-2.55585168) × cos(-1.41750319) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152693474697855 × 6371000     		du = 46.6365175027331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41749587)-sin(-1.41750319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152700708856495-0.152693474697855)×R²
    abs(2.55585168-2.55580374)×7.23415864001264e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.23415864001264e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.23415864001264e-06×40589641000000     		ar = 2174.97909263127m²