Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118851 / 116931
↖ ↑ ↗
← S 80.269652°
E146.434021°		 ← 51.62 m → S 80.269652°
E146.436768°		 →
↑
51.61 m
↓
↑
51.61 m
↓
S 80.270116°
E146.434021°		 ← 51.62 m →
2 664 m²		 S 80.270116°
E146.436768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118851 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906764984130859 y=0.892116546630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906764984130859 × 217)
    floor (0.906764984130859 × 131072)
    floor (118851.5)     		tx = 118851
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.892116546630859 × 217)
    floor (0.892116546630859 × 131072)
    floor (116931.5)     		ty = 116931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118851 / 116931 ti = "17/118851/116931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118851/116931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118851 ÷ 217
    118851 ÷ 131072     		x = 0.906761169433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116931 ÷ 217
    116931 ÷ 131072     		y = 0.892112731933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906761169433594 × 2 - 1) × π
    0.813522338867188 × 3.1415926535     		Λ = 2.55575580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.892112731933594 × 2 - 1) × π
    -0.784225463867188 × 3.1415926535     		Φ = -2.46371695597279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55575580} λ = 2.55575580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46371695597279))-π/2
    2×atan(0.0851179824599619)-π/2
    2×0.0849133095076732-π/2
    0.169826619015346-1.57079632675     		φ = -1.40096971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55575580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.434021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40096971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.269652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118851 KachelY 116931 2.55575580 -1.40096971 146.434021 -80.269652
    Oben rechts KachelX + 1 118852 KachelY 116931 2.55580374 -1.40096971 146.436768 -80.269652
    Unten links KachelX 118851 KachelY + 1 116932 2.55575580 -1.40097781 146.434021 -80.270116
    Unten rechts KachelX + 1 118852 KachelY + 1 116932 2.55580374 -1.40097781 146.436768 -80.270116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40096971--1.40097781) × R
    8.10000000006639e-06 × 6371000     		dl = 51.605100000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40096971--1.40097781) × R
    8.10000000006639e-06 × 6371000     		dr = 51.605100000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55575580-2.55580374) × cos(-1.40096971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169011462679107 × 6371000     		do = 51.6204510572147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55575580-2.55580374) × cos(-1.40097781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16900347919947 × 6371000     		du = 51.6180126970389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40096971)-sin(-1.40097781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169011462679107-0.16900347919947)×R²
    abs(2.55580374-2.55575580)×7.98347963673618e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.98347963673618e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.98347963673618e-06×40589641000000     		ar = 2663.8156229533m²