Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118850 / 119093
↖ ↑ ↗
← S 81.223658°
E146.431275°		 ← 46.59 m → S 81.223658°
E146.434021°		 →
↑
46.64 m
↓
↑
46.64 m
↓
S 81.224077°
E146.431275°		 ← 46.59 m →
2 173 m²		 S 81.224077°
E146.434021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906757354736328 y=0.908611297607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906757354736328 × 217)
    floor (0.906757354736328 × 131072)
    floor (118850.5)     		tx = 118850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908611297607422 × 217)
    floor (0.908611297607422 × 131072)
    floor (119093.5)     		ty = 119093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118850 / 119093 ti = "17/118850/119093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118850/119093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118850 ÷ 217
    118850 ÷ 131072     		x = 0.906753540039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119093 ÷ 217
    119093 ÷ 131072     		y = 0.908607482910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906753540039062 × 2 - 1) × π
    0.813507080078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55570787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908607482910156 × 2 - 1) × π
    -0.817214965820312 × 3.1415926535     		Φ = -2.56735653295135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55570787} λ = 2.55570787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56735653295135))-π/2
    2×atan(0.0767381322641369)-π/2
    2×0.0765880319223773-π/2
    0.153176063844755-1.57079632675     		φ = -1.41762026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55570787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.431275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41762026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.223658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118850 KachelY 119093 2.55570787 -1.41762026 146.431275 -81.223658
    Oben rechts KachelX + 1 118851 KachelY 119093 2.55575580 -1.41762026 146.434021 -81.223658
    Unten links KachelX 118850 KachelY + 1 119094 2.55570787 -1.41762758 146.431275 -81.224077
    Unten rechts KachelX + 1 118851 KachelY + 1 119094 2.55575580 -1.41762758 146.434021 -81.224077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41762026--1.41762758) × R
    7.31999999992183e-06 × 6371000     		dl = 46.635719999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41762026--1.41762758) × R
    7.31999999992183e-06 × 6371000     		dr = 46.635719999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55570787-2.55575580) × cos(-1.41762026) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152577776461742 × 6371000     		do = 46.5914595532722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55570787-2.55575580) × cos(-1.41762758) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152570542164122 × 6371000     		du = 46.5892504734653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41762026)-sin(-1.41762758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152577776461742-0.152570542164122)×R²
    abs(2.55575580-2.55570787)×7.23429762003458e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.23429762003458e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.23429762003458e-06×40589641000000     		ar = 2172.77475117076m²