Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118849 / 119095
↖ ↑ ↗
← S 81.224496°
E146.428528°		 ← 46.60 m → S 81.224496°
E146.431275°		 →
↑
46.57 m
↓
↑
46.57 m
↓
S 81.224915°
E146.428528°		 ← 46.59 m →
2 170 m²		 S 81.224915°
E146.431275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906749725341797 y=0.908626556396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906749725341797 × 217)
    floor (0.906749725341797 × 131072)
    floor (118849.5)     		tx = 118849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908626556396484 × 217)
    floor (0.908626556396484 × 131072)
    floor (119095.5)     		ty = 119095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118849 / 119095 ti = "17/118849/119095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118849/119095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118849 ÷ 217
    118849 ÷ 131072     		x = 0.906745910644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119095 ÷ 217
    119095 ÷ 131072     		y = 0.908622741699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906745910644531 × 2 - 1) × π
    0.813491821289062 × 3.1415926535     		Λ = 2.55565993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908622741699219 × 2 - 1) × π
    -0.817245483398438 × 3.1415926535     		Φ = -2.56745240675059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55565993} λ = 2.55565993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56745240675059))-π/2
    2×atan(0.0767307754405191)-π/2
    2×0.0765807181634622-π/2
    0.153161436326924-1.57079632675     		φ = -1.41763489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55565993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.428528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41763489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.224496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118849 KachelY 119095 2.55565993 -1.41763489 146.428528 -81.224496
    Oben rechts KachelX + 1 118850 KachelY 119095 2.55570787 -1.41763489 146.431275 -81.224496
    Unten links KachelX 118849 KachelY + 1 119096 2.55565993 -1.41764220 146.428528 -81.224915
    Unten rechts KachelX + 1 118850 KachelY + 1 119096 2.55570787 -1.41764220 146.431275 -81.224915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41763489--1.41764220) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dl = 46.5720099998892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41763489--1.41764220) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dr = 46.5720099998892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55565993-2.55570787) × cos(-1.41763489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152563317741263 × 6371000     		do = 46.59676421795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55565993-2.55570787) × cos(-1.41764220) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152556093310253 × 6371000     		du = 46.5945576907625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41763489)-sin(-1.41764220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152563317741263-0.152556093310253)×R²
    abs(2.55570787-2.55565993)×7.22443101058845e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.22443101058845e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.22443101058845e-06×40589641000000     		ar = 2170.05358795756m²