Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118847 / 119097
↖ ↑ ↗
← S 81.225334°
E146.423035°		 ← 46.58 m → S 81.225334°
E146.425781°		 →
↑
46.57 m
↓
↑
46.57 m
↓
S 81.225753°
E146.423035°		 ← 46.58 m →
2 169 m²		 S 81.225753°
E146.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906734466552734 y=0.908641815185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906734466552734 × 217)
    floor (0.906734466552734 × 131072)
    floor (118847.5)     		tx = 118847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908641815185547 × 217)
    floor (0.908641815185547 × 131072)
    floor (119097.5)     		ty = 119097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118847 / 119097 ti = "17/118847/119097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118847/119097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118847 ÷ 217
    118847 ÷ 131072     		x = 0.906730651855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119097 ÷ 217
    119097 ÷ 131072     		y = 0.908638000488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906730651855469 × 2 - 1) × π
    0.813461303710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.55556406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908638000488281 × 2 - 1) × π
    -0.817276000976562 × 3.1415926535     		Φ = -2.56754828054983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55556406} λ = 2.55556406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56754828054983))-π/2
    2×atan(0.0767234193221941)-π/2
    2×0.0765734050975037-π/2
    0.153146810195007-1.57079632675     		φ = -1.41764952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55556406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.423035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41764952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.225334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118847 KachelY 119097 2.55556406 -1.41764952 146.423035 -81.225334
    Oben rechts KachelX + 1 118848 KachelY 119097 2.55561199 -1.41764952 146.425781 -81.225334
    Unten links KachelX 118847 KachelY + 1 119098 2.55556406 -1.41765683 146.423035 -81.225753
    Unten rechts KachelX + 1 118848 KachelY + 1 119098 2.55561199 -1.41765683 146.425781 -81.225753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41764952--1.41765683) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dl = 46.5720099998892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41764952--1.41765683) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dr = 46.5720099998892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55556406-2.55561199) × cos(-1.41764952) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152548858988131 × 6371000     		do = 46.5826292548279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55556406-2.55561199) × cos(-1.41765683) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152541634540805 × 6371000     		du = 46.580423182927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41764952)-sin(-1.41765683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152548858988131-0.152541634540805)×R²
    abs(2.55561199-2.55556406)×7.22444732539906e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.22444732539906e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.22444732539906e-06×40589641000000     		ar = 2169.39530487662m²