Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118846 / 119098
↖ ↑ ↗
← S 81.225753°
E146.420288°		 ← 46.59 m → S 81.225753°
E146.423035°		 →
↑
46.57 m
↓
↑
46.57 m
↓
S 81.226172°
E146.420288°		 ← 46.59 m →
2 170 m²		 S 81.226172°
E146.423035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906726837158203 y=0.908649444580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906726837158203 × 217)
    floor (0.906726837158203 × 131072)
    floor (118846.5)     		tx = 118846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908649444580078 × 217)
    floor (0.908649444580078 × 131072)
    floor (119098.5)     		ty = 119098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118846 / 119098 ti = "17/118846/119098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118846/119098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118846 ÷ 217
    118846 ÷ 131072     		x = 0.906723022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119098 ÷ 217
    119098 ÷ 131072     		y = 0.908645629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906723022460938 × 2 - 1) × π
    0.813446044921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55551612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908645629882812 × 2 - 1) × π
    -0.817291259765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56759621744945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55551612} λ = 2.55551612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56759621744945))-π/2
    2×atan(0.0767197415274953)-π/2
    2×0.0765697488243632-π/2
    0.153139497648726-1.57079632675     		φ = -1.41765683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55551612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.420288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41765683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.225753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118846 KachelY 119098 2.55551612 -1.41765683 146.420288 -81.225753
    Oben rechts KachelX + 1 118847 KachelY 119098 2.55556406 -1.41765683 146.423035 -81.225753
    Unten links KachelX 118846 KachelY + 1 119099 2.55551612 -1.41766414 146.420288 -81.226172
    Unten rechts KachelX + 1 118847 KachelY + 1 119099 2.55556406 -1.41766414 146.423035 -81.226172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41765683--1.41766414) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dl = 46.5720099998892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41765683--1.41766414) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dr = 46.5720099998892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55551612-2.55556406) × cos(-1.41765683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152541634540805 × 6371000     		do = 46.5901416104045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55551612-2.55556406) × cos(-1.41766414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152534410085329 × 6371000     		du = 46.5879350757445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41765683)-sin(-1.41766414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152541634540805-0.152534410085329)×R²
    abs(2.55556406-2.55551612)×7.224455476601e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.224455476601e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.224455476601e-06×40589641000000     		ar = 2169.74515978469m²