Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 118845 / 119089
↖ ↑ ↗
← S 81.221981°
E146.417541°		 ← 46.61 m → S 81.221981°
E146.420288°		 →
↑
46.64 m
↓
↑
46.64 m
↓
S 81.222401°
E146.417541°		 ← 46.61 m →
2 174 m²		 S 81.222401°
E146.420288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118845 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906719207763672 y=0.908580780029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906719207763672 × 217)
    floor (0.906719207763672 × 131072)
    floor (118845.5)     		tx = 118845
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908580780029297 × 217)
    floor (0.908580780029297 × 131072)
    floor (119089.5)     		ty = 119089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118845 / 119089 ti = "17/118845/119089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118845/119089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118845 ÷ 217
    118845 ÷ 131072     		x = 0.906715393066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119089 ÷ 217
    119089 ÷ 131072     		y = 0.908576965332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906715393066406 × 2 - 1) × π
    0.813430786132812 × 3.1415926535     		Λ = 2.55546818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908576965332031 × 2 - 1) × π
    -0.817153930664062 × 3.1415926535     		Φ = -2.56716478535287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55546818} λ = 2.55546818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56716478535287))-π/2
    2×atan(0.0767528480275215)-π/2
    2×0.0766026615193336-π/2
    0.153205323038667-1.57079632675     		φ = -1.41759100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55546818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.417541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41759100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.221981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118845 KachelY 119089 2.55546818 -1.41759100 146.417541 -81.221981
    Oben rechts KachelX + 1 118846 KachelY 119089 2.55551612 -1.41759100 146.420288 -81.221981
    Unten links KachelX 118845 KachelY + 1 119090 2.55546818 -1.41759832 146.417541 -81.222401
    Unten rechts KachelX + 1 118846 KachelY + 1 119090 2.55551612 -1.41759832 146.420288 -81.222401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41759100--1.41759832) × R
    7.31999999992183e-06 × 6371000     		dl = 46.635719999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41759100--1.41759832) × R
    7.31999999992183e-06 × 6371000     		dr = 46.635719999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55546818-2.55551612) × cos(-1.41759100) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152606693804724 × 6371000     		do = 46.6100123842306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55546818-2.55551612) × cos(-1.41759832) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152599459539785 × 6371000     		du = 46.6078028535085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41759100)-sin(-1.41759832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152606693804724-0.152599459539785)×R²
    abs(2.55551612-2.55546818)×7.2342649381496e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.2342649381496e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.2342649381496e-06×40589641000000     		ar = 2173.63996517062m²