Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118844 / 119092
↖ ↑ ↗
← S 81.223239°
E146.414795°		 ← 46.60 m → S 81.223239°
E146.417541°		 →
↑
46.57 m
↓
↑
46.57 m
↓
S 81.223658°
E146.414795°		 ← 46.60 m →
2 170 m²		 S 81.223658°
E146.417541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906711578369141 y=0.908603668212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906711578369141 × 217)
    floor (0.906711578369141 × 131072)
    floor (118844.5)     		tx = 118844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908603668212891 × 217)
    floor (0.908603668212891 × 131072)
    floor (119092.5)     		ty = 119092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118844 / 119092 ti = "17/118844/119092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118844/119092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118844 ÷ 217
    118844 ÷ 131072     		x = 0.906707763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119092 ÷ 217
    119092 ÷ 131072     		y = 0.908599853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906707763671875 × 2 - 1) × π
    0.81341552734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55542024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908599853515625 × 2 - 1) × π
    -0.81719970703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56730859605173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55542024} λ = 2.55542024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56730859605173))-π/2
    2×atan(0.0767418109404518)-π/2
    2×0.0765916890617136-π/2
    0.153183378123427-1.57079632675     		φ = -1.41761295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55542024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.414795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41761295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.223239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118844 KachelY 119092 2.55542024 -1.41761295 146.414795 -81.223239
    Oben rechts KachelX + 1 118845 KachelY 119092 2.55546818 -1.41761295 146.417541 -81.223239
    Unten links KachelX 118844 KachelY + 1 119093 2.55542024 -1.41762026 146.414795 -81.223658
    Unten rechts KachelX + 1 118845 KachelY + 1 119093 2.55546818 -1.41762026 146.417541 -81.223658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41761295--1.41762026) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dl = 46.5720099998892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41761295--1.41762026) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dr = 46.5720099998892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55542024-2.55546818) × cos(-1.41761295) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152585000868283 × 6371000     		do = 46.6033868030654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55542024-2.55546818) × cos(-1.41762026) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152577776461742 × 6371000     		du = 46.6011802833515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41761295)-sin(-1.41762026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152585000868283-0.152577776461742)×R²
    abs(2.55546818-2.55542024)×7.22440654113421e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.22440654113421e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.22440654113421e-06×40589641000000     		ar = 2170.36201505026m²