Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118843 / 119087
↖ ↑ ↗
← S 81.221143°
E146.412048°		 ← 46.60 m → S 81.221143°
E146.414795°		 →
↑
46.64 m
↓
↑
46.64 m
↓
S 81.221563°
E146.412048°		 ← 46.60 m →
2 173 m²		 S 81.221563°
E146.414795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906703948974609 y=0.908565521240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906703948974609 × 217)
    floor (0.906703948974609 × 131072)
    floor (118843.5)     		tx = 118843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908565521240234 × 217)
    floor (0.908565521240234 × 131072)
    floor (119087.5)     		ty = 119087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118843 / 119087 ti = "17/118843/119087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118843/119087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118843 ÷ 217
    118843 ÷ 131072     		x = 0.906700134277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119087 ÷ 217
    119087 ÷ 131072     		y = 0.908561706542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906700134277344 × 2 - 1) × π
    0.813400268554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.55537231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908561706542969 × 2 - 1) × π
    -0.817123413085938 × 3.1415926535     		Φ = -2.56706891155363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55537231} λ = 2.55537231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56706891155363))-π/2
    2×atan(0.0767602069674235)-π/2
    2×0.076609977357503-π/2
    0.153219954715006-1.57079632675     		φ = -1.41757637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55537231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.412048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41757637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.221143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118843 KachelY 119087 2.55537231 -1.41757637 146.412048 -81.221143
    Oben rechts KachelX + 1 118844 KachelY 119087 2.55542024 -1.41757637 146.414795 -81.221143
    Unten links KachelX 118843 KachelY + 1 119088 2.55537231 -1.41758369 146.412048 -81.221563
    Unten rechts KachelX + 1 118844 KachelY + 1 119088 2.55542024 -1.41758369 146.414795 -81.221563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41757637--1.41758369) × R
    7.32000000014388e-06 × 6371000     		dl = 46.6357200009166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41757637--1.41758369) × R
    7.32000000014388e-06 × 6371000     		dr = 46.6357200009166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55537231-2.55542024) × cos(-1.41757637) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152621152427221 × 6371000     		do = 46.6047049261442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55537231-2.55542024) × cos(-1.41758369) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152613918178626 × 6371000     		du = 46.6024958613077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41757637)-sin(-1.41758369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152621152427221-0.152613918178626)×R²
    abs(2.55542024-2.55537231)×7.23424859505606e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.23424859505606e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.23424859505606e-06×40589641000000     		ar = 2173.3924590048m²