Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118842 / 119082
↖ ↑ ↗
← S 81.219047°
E146.409302°		 ← 46.63 m → S 81.219047°
E146.412048°		 →
↑
46.57 m
↓
↑
46.57 m
↓
S 81.219466°
E146.409302°		 ← 46.62 m →
2 171 m²		 S 81.219466°
E146.412048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906696319580078 y=0.908527374267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906696319580078 × 217)
    floor (0.906696319580078 × 131072)
    floor (118842.5)     		tx = 118842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908527374267578 × 217)
    floor (0.908527374267578 × 131072)
    floor (119082.5)     		ty = 119082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118842 / 119082 ti = "17/118842/119082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118842/119082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118842 ÷ 217
    118842 ÷ 131072     		x = 0.906692504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119082 ÷ 217
    119082 ÷ 131072     		y = 0.908523559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906692504882812 × 2 - 1) × π
    0.813385009765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55532437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908523559570312 × 2 - 1) × π
    -0.817047119140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56682922705553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55532437} λ = 2.55532437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56682922705553))-π/2
    2×atan(0.0767786074041662)-π/2
    2×0.0766282699858739-π/2
    0.153256539971748-1.57079632675     		φ = -1.41753979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55532437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.409302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41753979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.219047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118842 KachelY 119082 2.55532437 -1.41753979 146.409302 -81.219047
    Oben rechts KachelX + 1 118843 KachelY 119082 2.55537231 -1.41753979 146.412048 -81.219047
    Unten links KachelX 118842 KachelY + 1 119083 2.55532437 -1.41754710 146.409302 -81.219466
    Unten rechts KachelX + 1 118843 KachelY + 1 119083 2.55537231 -1.41754710 146.412048 -81.219466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41753979--1.41754710) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dl = 46.5720099998892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41753979--1.41754710) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dr = 46.5720099998892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55532437-2.55537231) × cos(-1.41753979) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152657303781937 × 6371000     		do = 46.6254699739724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55532437-2.55537231) × cos(-1.41754710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152650079457016 × 6371000     		du = 46.6232634791873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41753979)-sin(-1.41754710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152657303781937-0.152650079457016)×R²
    abs(2.55537231-2.55532437)×7.22432492133995e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.22432492133995e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.22432492133995e-06×40589641000000     		ar = 2171.39047341034m²