Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118832 / 120497
↖ ↑ ↗
← S 81.792878°
E146.381836°		 ← 43.60 m → S 81.792878°
E146.384583°		 →
↑
43.58 m
↓
↑
43.58 m
↓
S 81.793270°
E146.381836°		 ← 43.60 m →
1 900 m²		 S 81.793270°
E146.384583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906620025634766 y=0.919322967529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906620025634766 × 217)
    floor (0.906620025634766 × 131072)
    floor (118832.5)     		tx = 118832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.919322967529297 × 217)
    floor (0.919322967529297 × 131072)
    floor (120497.5)     		ty = 120497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118832 / 120497 ti = "17/118832/120497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118832/120497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118832 ÷ 217
    118832 ÷ 131072     		x = 0.9066162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120497 ÷ 217
    120497 ÷ 131072     		y = 0.919319152832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9066162109375 × 2 - 1) × π
    0.813232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55484500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.919319152832031 × 2 - 1) × π
    -0.838638305664062 × 3.1415926535     		Φ = -2.63465994001791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55484500} λ = 2.55484500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.63465994001791))-π/2
    2×atan(0.0717433623073329)-π/2
    2×0.0716206507243102-π/2
    0.14324130144862-1.57079632675     		φ = -1.42755503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55484500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.381836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42755503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.792878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118832 KachelY 120497 2.55484500 -1.42755503 146.381836 -81.792878
    Oben rechts KachelX + 1 118833 KachelY 120497 2.55489294 -1.42755503 146.384583 -81.792878
    Unten links KachelX 118832 KachelY + 1 120498 2.55484500 -1.42756187 146.381836 -81.793270
    Unten rechts KachelX + 1 118833 KachelY + 1 120498 2.55489294 -1.42756187 146.384583 -81.793270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42755503--1.42756187) × R
    6.83999999995244e-06 × 6371000     		dl = 43.577639999697m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42755503--1.42756187) × R
    6.83999999995244e-06 × 6371000     		dr = 43.577639999697m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55484500-2.55489294) × cos(-1.42755503) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.142751959939353 × 6371000     		do = 43.6001230008985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55484500-2.55489294) × cos(-1.42756187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.142745189987909 × 6371000     		du = 43.5980552834692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42755503)-sin(-1.42756187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.142751959939353-0.142745189987909)×R²
    abs(2.55489294-2.55484500)×6.7699514433861e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.7699514433861e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.7699514433861e-06×40589641000000     		ar = 1899.94541098547m²