Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118825 / 119031
↖ ↑ ↗
← S 81.197638°
E146.362610°		 ← 46.74 m → S 81.197638°
E146.365356°		 →
↑
46.76 m
↓
↑
46.76 m
↓
S 81.198058°
E146.362610°		 ← 46.74 m →
2 186 m²		 S 81.198058°
E146.365356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906566619873047 y=0.908138275146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906566619873047 × 217)
    floor (0.906566619873047 × 131072)
    floor (118825.5)     		tx = 118825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908138275146484 × 217)
    floor (0.908138275146484 × 131072)
    floor (119031.5)     		ty = 119031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118825 / 119031 ti = "17/118825/119031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118825/119031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118825 ÷ 217
    118825 ÷ 131072     		x = 0.906562805175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119031 ÷ 217
    119031 ÷ 131072     		y = 0.908134460449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906562805175781 × 2 - 1) × π
    0.813125610351562 × 3.1415926535     		Λ = 2.55450944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908134460449219 × 2 - 1) × π
    -0.816268920898438 × 3.1415926535     		Φ = -2.5643844451749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55450944} λ = 2.55450944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5643844451749))-π/2
    2×atan(0.0769665439907407)-π/2
    2×0.0768151025051495-π/2
    0.153630205010299-1.57079632675     		φ = -1.41716612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55450944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.362610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41716612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.197638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118825 KachelY 119031 2.55450944 -1.41716612 146.362610 -81.197638
    Oben rechts KachelX + 1 118826 KachelY 119031 2.55455738 -1.41716612 146.365356 -81.197638
    Unten links KachelX 118825 KachelY + 1 119032 2.55450944 -1.41717346 146.362610 -81.198058
    Unten rechts KachelX + 1 118826 KachelY + 1 119032 2.55455738 -1.41717346 146.365356 -81.198058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41716612--1.41717346) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dl = 46.7631400001423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41716612--1.41717346) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dr = 46.7631400001423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55450944-2.55455738) × cos(-1.41716612) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153026583398707 × 6371000     		do = 46.7382574741911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55450944-2.55455738) × cos(-1.41717346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153019329844572 × 6371000     		du = 46.7360420520517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41716612)-sin(-1.41717346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153026583398707-0.153019329844572)×R²
    abs(2.55455738-2.55450944)×7.25355413505602e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.25355413505602e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.25355413505602e-06×40589641000000     		ar = 2185.57587766656m²