Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118822 / 119047
↖ ↑ ↗
← S 81.204360°
E146.354370°		 ← 46.70 m → S 81.204360°
E146.357117°		 →
↑
46.70 m
↓
↑
46.70 m
↓
S 81.204780°
E146.354370°		 ← 46.70 m →
2 181 m²		 S 81.204780°
E146.357117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906543731689453 y=0.908260345458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906543731689453 × 217)
    floor (0.906543731689453 × 131072)
    floor (118822.5)     		tx = 118822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908260345458984 × 217)
    floor (0.908260345458984 × 131072)
    floor (119047.5)     		ty = 119047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118822 / 119047 ti = "17/118822/119047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118822/119047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118822 ÷ 217
    118822 ÷ 131072     		x = 0.906539916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119047 ÷ 217
    119047 ÷ 131072     		y = 0.908256530761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906539916992188 × 2 - 1) × π
    0.813079833984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55436563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908256530761719 × 2 - 1) × π
    -0.816513061523438 × 3.1415926535     		Φ = -2.56515143556882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55436563} λ = 2.55436563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56515143556882))-π/2
    2×atan(0.0769075340237783)-π/2
    2×0.0767564397809348-π/2
    0.15351287956187-1.57079632675     		φ = -1.41728345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55436563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.354370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41728345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.204360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118822 KachelY 119047 2.55436563 -1.41728345 146.354370 -81.204360
    Oben rechts KachelX + 1 118823 KachelY 119047 2.55441357 -1.41728345 146.357117 -81.204360
    Unten links KachelX 118822 KachelY + 1 119048 2.55436563 -1.41729078 146.354370 -81.204780
    Unten rechts KachelX + 1 118823 KachelY + 1 119048 2.55441357 -1.41729078 146.357117 -81.204780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41728345--1.41729078) × R
    7.3300000000831e-06 × 6371000     		dl = 46.6994300005295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41728345--1.41729078) × R
    7.3300000000831e-06 × 6371000     		dr = 46.6994300005295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55436563-2.55441357) × cos(-1.41728345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152910634249888 × 6371000     		do = 46.7028436196106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55436563-2.55441357) × cos(-1.41729078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15290339044643 × 6371000     		du = 46.7006311755792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41728345)-sin(-1.41729078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152910634249888-0.15290339044643)×R²
    abs(2.55441357-2.55436563)×7.24380345745734e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.24380345745734e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.24380345745734e-06×40589641000000     		ar = 2180.94451652075m²