Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118815 / 119051
↖ ↑ ↗
← S 81.206039°
E146.335144°		 ← 46.69 m → S 81.206039°
E146.337891°		 →
↑
46.70 m
↓
↑
46.70 m
↓
S 81.206459°
E146.335144°		 ← 46.69 m →
2 181 m²		 S 81.206459°
E146.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906490325927734 y=0.908290863037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906490325927734 × 217)
    floor (0.906490325927734 × 131072)
    floor (118815.5)     		tx = 118815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908290863037109 × 217)
    floor (0.908290863037109 × 131072)
    floor (119051.5)     		ty = 119051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118815 / 119051 ti = "17/118815/119051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118815/119051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118815 ÷ 217
    118815 ÷ 131072     		x = 0.906486511230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119051 ÷ 217
    119051 ÷ 131072     		y = 0.908287048339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906486511230469 × 2 - 1) × π
    0.812973022460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.55403007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908287048339844 × 2 - 1) × π
    -0.816574096679688 × 3.1415926535     		Φ = -2.56534318316731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55403007} λ = 2.55403007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56534318316731))-π/2
    2×atan(0.0768927886025689)-π/2
    2×0.0767417810461301-π/2
    0.15348356209226-1.57079632675     		φ = -1.41731276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55403007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.335144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41731276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.206039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118815 KachelY 119051 2.55403007 -1.41731276 146.335144 -81.206039
    Oben rechts KachelX + 1 118816 KachelY 119051 2.55407801 -1.41731276 146.337891 -81.206039
    Unten links KachelX 118815 KachelY + 1 119052 2.55403007 -1.41732009 146.335144 -81.206459
    Unten rechts KachelX + 1 118816 KachelY + 1 119052 2.55407801 -1.41732009 146.337891 -81.206459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41731276--1.41732009) × R
    7.3300000000831e-06 × 6371000     		dl = 46.6994300005295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41731276--1.41732009) × R
    7.3300000000831e-06 × 6371000     		dr = 46.6994300005295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55403007-2.55407801) × cos(-1.41731276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152881668869213 × 6371000     		do = 46.6939968467836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55403007-2.55407801) × cos(-1.41732009) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152874425032907 × 6371000     		du = 46.6917843927197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41731276)-sin(-1.41732009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152881668869213-0.152874425032907)×R²
    abs(2.55407801-2.55403007)×7.24383630523739e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.24383630523739e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.24383630523739e-06×40589641000000     		ar = 2180.53137698762m²