Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118812 / 119053
↖ ↑ ↗
← S 81.206879°
E146.326904°		 ← 46.69 m → S 81.206879°
E146.329651°		 →
↑
46.70 m
↓
↑
46.70 m
↓
S 81.207299°
E146.326904°		 ← 46.69 m →
2 180 m²		 S 81.207299°
E146.329651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906467437744141 y=0.908306121826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906467437744141 × 217)
    floor (0.906467437744141 × 131072)
    floor (118812.5)     		tx = 118812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908306121826172 × 217)
    floor (0.908306121826172 × 131072)
    floor (119053.5)     		ty = 119053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118812 / 119053 ti = "17/118812/119053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118812/119053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118812 ÷ 217
    118812 ÷ 131072     		x = 0.906463623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119053 ÷ 217
    119053 ÷ 131072     		y = 0.908302307128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906463623046875 × 2 - 1) × π
    0.81292724609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55388626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908302307128906 × 2 - 1) × π
    -0.816604614257812 × 3.1415926535     		Φ = -2.56543905696655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55388626} λ = 2.55388626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56543905696655))-π/2
    2×atan(0.0768854169521711)-π/2
    2×0.0767344527203118-π/2
    0.153468905440624-1.57079632675     		φ = -1.41732742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55388626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.326904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41732742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.206879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118812 KachelY 119053 2.55388626 -1.41732742 146.326904 -81.206879
    Oben rechts KachelX + 1 118813 KachelY 119053 2.55393420 -1.41732742 146.329651 -81.206879
    Unten links KachelX 118812 KachelY + 1 119054 2.55388626 -1.41733475 146.326904 -81.207299
    Unten rechts KachelX + 1 118813 KachelY + 1 119054 2.55393420 -1.41733475 146.329651 -81.207299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41732742--1.41733475) × R
    7.3300000000831e-06 × 6371000     		dl = 46.6994300005295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41732742--1.41733475) × R
    7.3300000000831e-06 × 6371000     		dr = 46.6994300005295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55388626-2.55393420) × cos(-1.41732742) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152867181188389 × 6371000     		do = 46.6895719361471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55388626-2.55393420) × cos(-1.41733475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152859937335656 × 6371000     		du = 46.6873594770658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41732742)-sin(-1.41733475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152867181188389-0.152859937335656)×R²
    abs(2.55393420-2.55388626)×7.24385273240258e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.24385273240258e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.24385273240258e-06×40589641000000     		ar = 2180.32473592961m²