Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118802 / 120399
↖ ↑ ↗
← S 81.754365°
E146.299439°		 ← 43.79 m → S 81.754365°
E146.302185°		 →
↑
43.83 m
↓
↑
43.83 m
↓
S 81.754759°
E146.299439°		 ← 43.79 m →
1 920 m²		 S 81.754759°
E146.302185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906391143798828 y=0.918575286865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906391143798828 × 217)
    floor (0.906391143798828 × 131072)
    floor (118802.5)     		tx = 118802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918575286865234 × 217)
    floor (0.918575286865234 × 131072)
    floor (120399.5)     		ty = 120399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118802 / 120399 ti = "17/118802/120399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118802/120399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118802 ÷ 217
    118802 ÷ 131072     		x = 0.906387329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120399 ÷ 217
    120399 ÷ 131072     		y = 0.918571472167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906387329101562 × 2 - 1) × π
    0.812774658203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55340690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918571472167969 × 2 - 1) × π
    -0.837142944335938 × 3.1415926535     		Φ = -2.62996212385514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55340690} λ = 2.55340690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62996212385514))-π/2
    2×atan(0.0720811923447457)-π/2
    2×0.0719567427007359-π/2
    0.143913485401472-1.57079632675     		φ = -1.42688284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55340690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.299439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42688284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.754365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118802 KachelY 120399 2.55340690 -1.42688284 146.299439 -81.754365
    Oben rechts KachelX + 1 118803 KachelY 120399 2.55345483 -1.42688284 146.302185 -81.754365
    Unten links KachelX 118802 KachelY + 1 120400 2.55340690 -1.42688972 146.299439 -81.754759
    Unten rechts KachelX + 1 118803 KachelY + 1 120400 2.55345483 -1.42688972 146.302185 -81.754759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42688284--1.42688972) × R
    6.87999999993139e-06 × 6371000     		dl = 43.8324799995629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42688284--1.42688972) × R
    6.87999999993139e-06 × 6371000     		dr = 43.8324799995629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55340690-2.55345483) × cos(-1.42688284) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.143417233401359 × 6371000     		do = 43.7941775284497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55340690-2.55345483) × cos(-1.42688972) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.14341042452124 × 6371000     		du = 43.7920983549944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42688284)-sin(-1.42688972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143417233401359-0.14341042452124)×R²
    abs(2.55345483-2.55340690)×6.80888011939107e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.80888011939107e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.80888011939107e-06×40589641000000     		ar = 1919.56184288621m²