Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118802 / 119760
↖ ↑ ↗
← S 81.498805°
E146.299439°		 ← 45.14 m → S 81.498805°
E146.302185°		 →
↑
45.17 m
↓
↑
45.17 m
↓
S 81.499211°
E146.299439°		 ← 45.14 m →
2 039 m²		 S 81.499211°
E146.302185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906391143798828 y=0.913700103759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906391143798828 × 217)
    floor (0.906391143798828 × 131072)
    floor (118802.5)     		tx = 118802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913700103759766 × 217)
    floor (0.913700103759766 × 131072)
    floor (119760.5)     		ty = 119760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118802 / 119760 ti = "17/118802/119760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118802/119760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118802 ÷ 217
    118802 ÷ 131072     		x = 0.906387329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119760 ÷ 217
    119760 ÷ 131072     		y = 0.9136962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906387329101562 × 2 - 1) × π
    0.812774658203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55340690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9136962890625 × 2 - 1) × π
    -0.827392578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59933044499792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55340690} λ = 2.55340690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59933044499792))-π/2
    2×atan(0.0743233251124331)-π/2
    2×0.0741869239700853-π/2
    0.148373847940171-1.57079632675     		φ = -1.42242248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55340690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.299439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42242248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.498805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118802 KachelY 119760 2.55340690 -1.42242248 146.299439 -81.498805
    Oben rechts KachelX + 1 118803 KachelY 119760 2.55345483 -1.42242248 146.302185 -81.498805
    Unten links KachelX 118802 KachelY + 1 119761 2.55340690 -1.42242957 146.299439 -81.499211
    Unten rechts KachelX + 1 118803 KachelY + 1 119761 2.55345483 -1.42242957 146.302185 -81.499211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42242248--1.42242957) × R
    7.08999999998738e-06 × 6371000     		dl = 45.1703899999196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42242248--1.42242957) × R
    7.08999999998738e-06 × 6371000     		dr = 45.1703899999196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55340690-2.55345483) × cos(-1.42242248) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.147830042339614 × 6371000     		do = 45.1416818238382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55340690-2.55345483) × cos(-1.42242957) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.14782303023529 × 6371000     		du = 45.1395405934272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42242248)-sin(-1.42242957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147830042339614-0.14782303023529)×R²
    abs(2.55345483-2.55340690)×7.01210432418886e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.01210432418886e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.01210432418886e-06×40589641000000     		ar = 2039.01901303984m²