Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 118800 / 120400
↖ ↑ ↗
← S 81.754759°
E146.293945°		 ← 43.80 m → S 81.754759°
E146.296692°		 →
↑
43.77 m
↓
↑
43.77 m
↓
S 81.755152°
E146.293945°		 ← 43.80 m →
1 917 m²		 S 81.755152°
E146.296692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 118800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.906375885009766 y=0.918582916259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.906375885009766 × 217)
    floor (0.906375885009766 × 131072)
    floor (118800.5)     		tx = 118800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918582916259766 × 217)
    floor (0.918582916259766 × 131072)
    floor (120400.5)     		ty = 120400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 118800 / 120400 ti = "17/118800/120400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/118800/120400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 118800 ÷ 217
    118800 ÷ 131072     		x = 0.9063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120400 ÷ 217
    120400 ÷ 131072     		y = 0.9185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9063720703125 × 2 - 1) × π
    0.812744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55331102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9185791015625 × 2 - 1) × π
    -0.837158203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.63001006075476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55331102} λ = 2.55331102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.63001006075476))-π/2
    2×atan(0.0720777370786818)-π/2
    2×0.0719533052935465-π/2
    0.143906610587093-1.57079632675     		φ = -1.42688972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55331102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42688972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.754759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 118800 KachelY 120400 2.55331102 -1.42688972 146.293945 -81.754759
    Oben rechts KachelX + 1 118801 KachelY 120400 2.55335896 -1.42688972 146.296692 -81.754759
    Unten links KachelX 118800 KachelY + 1 120401 2.55331102 -1.42689659 146.293945 -81.755152
    Unten rechts KachelX + 1 118801 KachelY + 1 120401 2.55335896 -1.42689659 146.296692 -81.755152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42688972--1.42689659) × R
    6.86999999999216e-06 × 6371000     		dl = 43.7687699999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42688972--1.42689659) × R
    6.86999999999216e-06 × 6371000     		dr = 43.7687699999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55331102-2.55335896) × cos(-1.42688972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14341042452124 × 6371000     		do = 43.8012350330851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55331102-2.55335896) × cos(-1.42689659) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.143403625530975 × 6371000     		du = 43.7991584464523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42688972)-sin(-1.42689659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14341042452124-0.143403625530975)×R²
    abs(2.55335896-2.55331102)×6.7989902648169e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.7989902648169e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.7989902648169e-06×40589641000000     		ar = 1917.08073701096m²