Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1188 / 884
↖ ↑ ↗
← N 23.885838°
E 28.828125°		 ← 17.872 km → N 23.885838°
E 29.003906°		 →
↑
17.883 km
↓
↑
17.883 km
↓
N 23.725012°
E 28.828125°		 ← 17.894 km →
319.802 km²		 N 23.725012°
E 29.003906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580322265625 y=0.431884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580322265625 × 211)
    floor (0.580322265625 × 2048)
    floor (1188.5)     		tx = 1188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431884765625 × 211)
    floor (0.431884765625 × 2048)
    floor (884.5)     		ty = 884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1188 / 884 ti = "11/1188/884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1188/884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1188 ÷ 211
    1188 ÷ 2048     		x = 0.580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 884 ÷ 211
    884 ÷ 2048     		y = 0.431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580078125 × 2 - 1) × π
    0.16015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50314570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431640625 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.429514620595703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50314570} λ = 0.50314570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429514620595703))-π/2
    2×atan(1.53651155146164)-π/2
    2×0.993841419621626-π/2
    1.98768283924325-1.57079632675     		φ = 0.41688651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50314570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.828125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41688651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.885838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1188 KachelY 884 0.50314570 0.41688651 28.828125 23.885838
    Oben rechts KachelX + 1 1189 KachelY 884 0.50621366 0.41688651 29.003906 23.885838
    Unten links KachelX 1188 KachelY + 1 885 0.50314570 0.41407957 28.828125 23.725012
    Unten rechts KachelX + 1 1189 KachelY + 1 885 0.50621366 0.41407957 29.003906 23.725012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41688651-0.41407957) × R
    0.00280693999999998 × 6371000     		dl = 17883.0147399999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41688651-0.41407957) × R
    0.00280693999999998 × 6371000     		dr = 17883.0147399999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50314570-0.50621366) × cos(0.41688651) × R
    0.00306795999999998 × 0.91435407069783 × 6371000     		do = 17871.9401245964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50314570-0.50621366) × cos(0.41407957) × R
    0.00306795999999998 × 0.915487040910553 × 6371000     		du = 17894.0851299654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41688651)-sin(0.41407957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91435407069783-0.915487040910553)×R²
    abs(0.50621366-0.50314570)×0.00113297021272296×R²
    0.00306795999999998×0.00113297021272296×6371000²
    0.00306795999999998×0.00113297021272296×40589641000000     		ar = 319802388.383873m²