Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 1188 / 672
↖ ↑ ↗
← N 81.723188°
W127.792969°		 ← 703.44 m → N 81.723188°
W127.749024°		 →
↑
703.74 m
↓
↑
703.74 m
↓
N 81.716859°
W127.792969°		 ← 703.97 m →
495 226 m²		 N 81.716859°
W127.749024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14508056640625 y=0.08209228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14508056640625 × 213)
    floor (0.14508056640625 × 8192)
    floor (1188.5)     		tx = 1188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.08209228515625 × 213)
    floor (0.08209228515625 × 8192)
    floor (672.5)     		ty = 672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1188 / 672 ti = "13/1188/672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1188/672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1188 ÷ 213
    1188 ÷ 8192     		x = 0.14501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 672 ÷ 213
    672 ÷ 8192     		y = 0.08203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14501953125 × 2 - 1) × π
    -0.7099609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23040807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08203125 × 2 - 1) × π
    0.8359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62617510878516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23040807} λ = -2.23040807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62617510878516))-π/2
    2×atan(13.8208055974377)-π/2
    2×1.49856751297347-π/2
    2.99713502594695-1.57079632675     		φ = 1.42633870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23040807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.792969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42633870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.723188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1188 KachelY 672 -2.23040807 1.42633870 -127.792969 81.723188
    Oben rechts KachelX + 1 1189 KachelY 672 -2.22964108 1.42633870 -127.749024 81.723188
    Unten links KachelX 1188 KachelY + 1 673 -2.23040807 1.42622824 -127.792969 81.716859
    Unten rechts KachelX + 1 1189 KachelY + 1 673 -2.22964108 1.42622824 -127.749024 81.716859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42633870-1.42622824) × R
    0.000110460000000145 × 6371000     		dl = 703.740660000927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42633870-1.42622824) × R
    0.000110460000000145 × 6371000     		dr = 703.740660000927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23040807--2.22964108) × cos(1.42633870) × R
    0.000766990000000245 × 0.143955726994628 × 6371000     		do = 703.438694016546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23040807--2.22964108) × cos(1.42622824) × R
    0.000766990000000245 × 0.14406503557908 × 6371000     		du = 703.972829681011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42633870)-sin(1.42622824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143955726994628-0.14406503557908)×R²
    abs(-2.22964108--2.23040807)×0.000109308584452211×R²
    0.000766990000000245×0.000109308584452211×6371000²
    0.000766990000000245×0.000109308584452211×40589641000000     		ar = 495226.357794744m²