Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1188 / 515
↖ ↑ ↗
← N 82.659460°
W127.792969°		 ← 624.33 m → N 82.659460°
W127.749024°		 →
↑
624.55 m
↓
↑
624.55 m
↓
N 82.653843°
W127.792969°		 ← 624.80 m →
390 073 m²		 N 82.653843°
W127.749024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14508056640625 y=0.06292724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14508056640625 × 213)
    floor (0.14508056640625 × 8192)
    floor (1188.5)     		tx = 1188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06292724609375 × 213)
    floor (0.06292724609375 × 8192)
    floor (515.5)     		ty = 515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1188 / 515 ti = "13/1188/515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1188/515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1188 ÷ 213
    1188 ÷ 8192     		x = 0.14501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 515 ÷ 213
    515 ÷ 8192     		y = 0.0628662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14501953125 × 2 - 1) × π
    -0.7099609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23040807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0628662109375 × 2 - 1) × π
    0.874267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.74659260063074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23040807} λ = -2.23040807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74659260063074))-π/2
    2×atan(15.5894218954956)-π/2
    2×1.50673803068911-π/2
    3.01347606137821-1.57079632675     		φ = 1.44267973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23040807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.792969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44267973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.659460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1188 KachelY 515 -2.23040807 1.44267973 -127.792969 82.659460
    Oben rechts KachelX + 1 1189 KachelY 515 -2.22964108 1.44267973 -127.749024 82.659460
    Unten links KachelX 1188 KachelY + 1 516 -2.23040807 1.44258170 -127.792969 82.653843
    Unten rechts KachelX + 1 1189 KachelY + 1 516 -2.22964108 1.44258170 -127.749024 82.653843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44267973-1.44258170) × R
    9.80299999999712e-05 × 6371000     		dl = 624.549129999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44267973-1.44258170) × R
    9.80299999999712e-05 × 6371000     		dr = 624.549129999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23040807--2.22964108) × cos(1.44267973) × R
    0.000766990000000245 × 0.127766402955546 × 6371000     		do = 624.329670729913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23040807--2.22964108) × cos(1.44258170) × R
    0.000766990000000245 × 0.127863628915862 × 6371000     		du = 624.80476473261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44267973)-sin(1.44258170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127766402955546-0.127863628915862)×R²
    abs(-2.22964108--2.23040807)×9.72259603156389e-05×R²
    0.000766990000000245×9.72259603156389e-05×6371000²
    0.000766990000000245×9.72259603156389e-05×40589641000000     		ar = 390072.912775088m²